Calcule o determinante da matriz ;
(a) Desenvolvendo-o pela segunda linha (usando cofatores).
(b) Usando operações elementares sobre as linhas da matriz.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
de duas maneiras: (a) expandindo pela segunda linha (cofatores) e (b) usando operações elementares sobre linhas. Vamos usar o conceito de menor complementar e cofator para (a) e as regras de como cada tipo de operação de linha afeta o determinante para (b).
Passo 2
(a) Expansão pela segunda linha.
A segunda linha é (-1,,0,,3,,0), então só os elementos nas colunas 1 e 3 contribuem:
(b) Operações elementares sobre linhas. 1 Troque R1rightarrow R2. Isso multiplica o determinante por -1. 2 Usando R1 como pivô -1, elimine a coluna1 em R2,R3,R4 adicionando múltiplos de R1. Essas operações não mudam o determinante. 3 Troque agora a nova R2 com R4 para ter pivô +1 em (2,2). Isso multiplica por mais -1, e o total de trocas de linhas foi par, logo volta ao determinante original. 4 Use essa linha como pivô para limpar abaixo na coluna2 (adição de múltiplos não altera o determinante). 5 Ao final, obtemos uma matriz triangular
O determinante de uma triangular é o produto dos elementos da diagonal, aqui (-1)cdot1cdot(-10)cdot(det do bloco 2times2). Mas o bloco 2times2 -10 & -545 & 22
tem determinante -10cdot22 -(-5)cdot45 = -220 +225 = 5.
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