Calcule o determinante da matriz A=[cccc4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4];
(a) Desenvolvendo-o pela segunda linha (usando cofatores).
(b) Usando operações elementares sobre as linhas da matriz.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4
de duas maneiras: (a) expandindo pela segunda linha (cofatores) e (b) usando operações elementares sobre linhas. Vamos usar o conceito de menor complementar e cofator para (a) e as regras de como cada tipo de operação de linha afeta o determinante para (b).

Passo 2

(a) Expansão pela segunda linha.
A segunda linha é (-1,,0,,3,,0), então só os elementos nas colunas 1 e 3 contribuem:
det(A) = sumj=1^4 a2j,(-1)^2+j,det(M2j) = a21(-1)^3det(M21) ;+; a23(-1)^5det(M23)

Passo 3

Cálculo de det(M21). Retirando linha 2 e coluna 1 de A, obtemos
M21 = -5 & 3 & 2 2 & -1& 3 1 & 0 & 4
Seu determinante é
det(M21) = -5,( -1cdot4-3cdot0 ) ;-;3,(2cdot4-3cdot1) ;+;2,(2cdot0-(-1)cdot1) =20 -15 +2 = 7
Portanto a contribuição da coluna 1 é
a21(-1)^3det(M21) = (-1)times(-1)times7 = +7

Passo 4

Cálculo de det(M23). Retirando linha 2 e coluna 3 de A, obtemos
M23 = 4 & -5 & 2 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4
Seu determinante é
det(M23) =4,(2cdot4-3cdot1) ;-;(-5),(1cdot4-3cdot2) ;+;2,(1cdot1-2cdot2) =20 -10 -6 = 4
A contribuição da coluna 3 é
a23(-1)^5det(M23) =3times(-1)times4 = -12

Passo 5

Somando as contribuições da segunda linha:
det(A) = 7 + (-12) = -5

Passo 6

(b) Operações elementares sobre linhas.
1 Troque R1rightarrow R2. Isso multiplica o determinante por -1.
2 Usando R1 como pivô -1, elimine a coluna 1 em R2,R3,R4 adicionando múltiplos de R1. Essas operações não mudam o determinante.
3 Troque agora a nova R2 com R4 para ter pivô +1 em (2,2). Isso multiplica por mais -1, e o total de trocas de linhas foi par, logo volta ao determinante original.
4 Use essa linha como pivô para limpar abaixo na coluna 2 (adição de múltiplos não altera o determinante).
5 Ao final, obtemos uma matriz triangular
-1 & * & * & * 0 & 1 & * & * 0 & 0 & -10 & -5 0 & 0 & 45 & 22
O determinante de uma triangular é o produto dos elementos da diagonal, aqui (-1)cdot1cdot(-10)cdot(det do bloco 2times2). Mas o bloco 2times2 -10 & -545 & 22
tem determinante -10cdot22 -(-5)cdot45 = -220 +225 = 5.
Logo
det(A) = (-1)times1times5 = -5

Resposta

det(A) = -5

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