Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear que na base canônica de R^3 é representada pela matriz
A=[rrr -1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11 ]
Calcule os autovalores e os subespaços dos respectivos autovetores de T ;

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A= -1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11
e pede os autovalores ( lambda) e os subespaços próprios associados (autovetores). Para resolver, vamos (1) calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0, (2) fatorá-lo para achar as lambda, e (3) para cada lambda resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Montamos A-lambda I e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
A-lambda I = -1-lambda & -4 & 14 2 & -7-lambda & 14 2 & -4 & 11-lambda
Então
det(A-lambda I) =(-1-lambda)det!-7-lambda&14-4&11-lambda -(-4)det!2&142&11-lambda +14det!2&-7-lambda2&-4
Calculando cada menor, chega-se ao polinômio
-lambda^3+3lambda^2+45lambda+81=0,
ou equivalentemente
lambda^3-3lambda^2-45lambda-81=0

Passo 3

Testando raízes inteiras (divisores de 81), lambda=9 anula o polinômio. Fazendo divisão sintética por lambda-9 obtemos cociente lambda^2+6lambda+9=(lambda+3)^2. Logo as raízes são
lambda1=9(mu<iplicidade 1), lambda2=-3(mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para
Dessas equações deduz-se (x=y=z]. Assim o subespaço próprio é

Passo 5

Para lambda=-3 resolvemos (A+3I)v=0:
A+3I=2&-4&142&-4&142&-4&14 ;longrightarrow; 2x-4y+14z=0 ;Leftrightarrow; x-2y+7z=0
Tomando y=s, z=t, temos x=2s-7t, ou seja
v=(2s-7t,;s,;t)=s(2,1,0)+t(-7,0,1),
de modo que
E-3=(2s-7t,s,t)mid s,tinR =span(2,1,0),,(-7,0,1)

Resposta

Os autovalores e seus subespaços próprios são:
lambda1=9 com
E9=span(1,1,1),
lambda2=-3 (multiplicidade algébrica 2) com
E-3=span(2,1,0),,(-7,0,1)

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