Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear que na base canônica de R^3 é representada pela matriz
A=[rrr -1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11 ]
Determine uma matriz de mudança de base S e uma matriz diagonal D tais que D=S^-1 A S.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A= -1 & -4 & 14 2 & -7 & 14 2 & -4 & 11
isto é, encontrar uma base de autovetores de R^3 na qual a transformação fica representada por uma matriz diagonal D. Para isso precisamos calcular os autovalores de A e, para cada autovalor, achar uma base do respectivo autovalor–espaço.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I). Com expansão por cofactores obtemos
det(A-lambda I) =lambda^3-3lambda^2-45lambda-81 =(lambda-9)(lambda+3)^2
Logo os autovalores são lambda1=9 e lambda2=lambda3=-3 (com multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para
cuja solução não-trivial é (x=y=z]. Podemos escolher o autovetor

Passo 4

Para lambda=-3 resolvemos (A+3I)x=0. Todas as linhas dão a equação
x-2y+7z=0Longrightarrow x=2y-7z,
com y,z livres. Uma base do espaço próprio é, por exemplo,
v2=(2,1,0), v3=(-7,0,1)

Passo 5

Formamos a matriz S cujas colunas são os autovetores v1,v2,v3. A matriz diagonal D terá os autovalores na diagonal, na mesma ordem:
S= 1 & 2 & -7 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D= 9 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & -3
Pode-se verificar que det S=6neq0 e que de fato S^-1AS=D.

Resposta

S= 1 & 2 & -7 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D= 9 & 0 & 0 0 & -3 & 0 0 & 0 & -3 ,
com D=S^-1AS.

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