Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear que na base canônica de R^3 é representada pela matriz
A=[rrr 9 & 0 & 0 3 & 7 & -1 3 & -2 & 8 ]
Calcule o polinômio característico de T;

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de T, uma transformação linear em R^3 cuja matriz na base canônica é
A = 9 & 0 & 0 3 & 7 & -1 3 & -2 & 8
O conteúdo envolve cálculo de determinante de A - lambda I.

Passo 2

Formamos a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 9 - lambda & 0 & 0 3 & 7 - lambda & -1 3 & -2 & 8 - lambda

Passo 3

Usamos a expansão pela primeira linha para computar
chiT(lambda)=det(A - lambda I) =(9 - lambda)det 7 - lambda & -1 -2 & 8 - lambda

Passo 4

Calculamos o menor 2times 2:
det 7 - lambda & -1 -2 & 8 - lambda =(7 - lambda)(8 - lambda)-(-1)(-2) =lambda^2-15lambda+54

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
chiT(lambda) =(9 - lambda)l(lambda^2-15lambda+54r)
Como lambda^2-15lambda+54=(lambda-6)(lambda-9), segue
chiT(lambda) =(9-lambda)(lambda-6)(lambda-9) =-(lambda-9)^2(lambda-6)

Resposta

O polinômio característico (no formato monico) é
(lambda-9)^2(lambda-6) =lambda^3-24lambda^2+189lambda-486

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