Dadas as matrizes A=[cccc1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3] e B=[cccc-3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2], determine:
(a) det(A B);
(b) A^-1;
(c) B^-1;
(d) (B A)^-1;
(e) det(C), onde C A^T=2 B C^2.

Passo 1

Resumo do enunciado e materiais necessários
Temos duas matrizes quadradas de ordem 4, uma triangular superior
A= 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3
e outra triangular inferior
B= -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2
Precisamos calcular:
(a) det(AB);
(b) A^-1;
(c) B^-1;
(d) (BA)^-1;
(e) det(C), onde C satisfaz C,A^T=2,B,C^2.
Para isso, usaremos propriedades de determinante (produto, triangular), métodos de substituição para inversão de triangulares e a regra det(kM)=k^ndet(M) em dimensão n=4.

Passo 2

Cálculo de det(AB)
Em primeiro lugar,
det(AB)=det(A),det(B)
Como A e B são triangulares, cada determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A)=1cdot2cdot4cdot3=24, det(B)=(-3)cdot(-4)cdot(-1)cdot(-2)=24
Logo
det(AB)=24cdot24=576

Passo 3

Cálculo de A^-1 por substituição regressiva
Queremos X=A^-1 de modo que A,X=I. Como A é triangular superior, resolvemos coluna a coluna com back–substitution. O resultado é
A^-1= 1 & tfrac52 & tfrac178 & -tfrac3112[6pt] 0 & tfrac12 & tfrac38 & -tfrac512[6pt] 0 & 0 & tfrac14 & tfrac16[6pt] 0 & 0 & 0 & tfrac13 ]

Passo 4

Cálculo de B^-1 por substituição progressiva
Agora B é triangular inferior, então resolvemos B,Y=I via forward–substitution. O resultado é
B^-1= -tfrac13 & 0 & 0 & 0[4pt] -tfrac14 & -tfrac14& 0 & 0[4pt] -tfrac76 & -tfrac12& -1 & 0[4pt] tfrac2524& -tfrac38& -tfrac12& -tfrac12 ]

Passo 5

Cálculo de (BA)^-1
Usamos a propriedade (BA)^-1=A^-1B^-1. Fazendo o produto de A^-1 por B^-1 obtemos
(BA)^-1 =A^-1B^-1 = -tfrac1765288 & -tfrac2332 & -tfrac56 & tfrac3124[4pt] -tfrac287288 & -tfrac532 & -tfrac16 & tfrac524[4pt] -tfrac17144 & -tfrac316 & -tfrac13 & -tfrac112[4pt] tfrac2572 & -tfrac18 & -tfrac16 & -tfrac16 ]

Passo 6

Cálculo de det(C) na equação C,A^T=2,B,C^2
Tomamos determinantes em ambos os lados:
det(C),det(A^T) =detl(2,B,C^2r)
Como det(A^T)=det(A)=24 e det(2,M)=2^4det(M) em dimensão 4, segue
det(C),24 =2^4,det(B),det(C^2) =16cdot24cdotl[det(C)r]^2
Supondo det(C)neq0, dividimos por det(C) e achamos
24=384,det(C) Longrightarrow det(C)=tfrac24384=tfrac116

Resposta

(a) 576
(b) A^-1= 1 & tfrac52 & tfrac178 & -tfrac3112 0 & tfrac12 & tfrac38 & -tfrac512 0 & 0 & tfrac14 & tfrac16 0 & 0 & 0 & tfrac13
(c) B^-1= -tfrac13 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & -tfrac14& 0 & 0 -tfrac76 & -tfrac12& -1 & 0 tfrac2524& -tfrac38& -tfrac12& -tfrac12
(d) (BA)^-1 = -tfrac1765288 & -tfrac2332 & -tfrac56 & tfrac3124 -tfrac287288 & -tfrac532 & -tfrac16 & tfrac524 -tfrac17144 & -tfrac316 & -tfrac13 & -tfrac112 tfrac2572 & -tfrac18 & -tfrac16 & -tfrac16
(e) tfrac116

Exercícios relacionados