Dadas as matrizes
e
B=[cccc-3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2] , determine:
(a)
det(A B) ;
(b)
A^-1 ;
(c)
B^-1 ;
(d)
(B A)^-1 ;
(e)
det(C) , onde
C A^T=2 B C^2 .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Resumo do enunciado e materiais necessários
Temos duas matrizes quadradas de ordem4 , uma triangular superior
Temos duas matrizes quadradas de ordem
e outra triangular inferior
Precisamos calcular:
(a)det(AB) ;
(b)A^-1 ;
(c)B^-1 ;
(d)(BA)^-1 ;
(e)det(C) , onde
C satisfaz
C,A^T=2,B,C^2 .
Para isso, usaremos propriedades de determinante (produto, triangular), métodos de substituição para inversão de triangulares e a regradet(kM)=k^ndet(M) em dimensão
n=4 .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Para isso, usaremos propriedades de determinante (produto, triangular), métodos de substituição para inversão de triangulares e a regra
Passo 2
Cálculo de
det(AB)
Em primeiro lugar,
Em primeiro lugar,
Como
A e
B são triangulares, cada determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Logo
Passo 3
Cálculo de
A^-1 por substituição regressiva
QueremosX=A^-1 de modo que
A,X=I . Como
A é triangular superior, resolvemos coluna a coluna com back–substitution. O resultado é
Queremos
Passo 4
Cálculo de
B^-1 por substituição progressiva
AgoraB é triangular inferior, então resolvemos
B,Y=I via forward–substitution. O resultado é
Agora
Passo 5
Cálculo de
(BA)^-1
Usamos a propriedade(BA)^-1=A^-1B^-1 . Fazendo o produto de
A^-1 por
B^-1 obtemos
Usamos a propriedade
Passo 6
Cálculo de
det(C) na equação
C,A^T=2,B,C^2
Tomamos determinantes em ambos os lados:
Tomamos determinantes em ambos os lados:
Como
det(A^T)=det(A)=24 e
det(2,M)=2^4det(M) em dimensão
4 , segue
Supondo
det(C)neq0 , dividimos por
det(C) e achamos
Resposta
(a)
576
(b)
A^-1= 1 & tfrac52 & tfrac178 & -tfrac3112 0 & tfrac12 & tfrac38 & -tfrac512 0 & 0 & tfrac14 & tfrac16 0 & 0 & 0 & tfrac13
(c)
B^-1= -tfrac13 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & -tfrac14& 0 & 0 -tfrac76 & -tfrac12& -1 & 0 tfrac2524& -tfrac38& -tfrac12& -tfrac12
(d)
(BA)^-1 = -tfrac1765288 & -tfrac2332 & -tfrac56 & tfrac3124 -tfrac287288 & -tfrac532 & -tfrac16 & tfrac524 -tfrac17144 & -tfrac316 & -tfrac13 & -tfrac112 tfrac2572 & -tfrac18 & -tfrac16 & -tfrac16
(e)
tfrac116