Calcule o determinante e a matriz inversa (se existir) de cada item abaixo
\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & -5 \\\\ 3 & 0 & 9 & 4 \\\\ 4 & 0 & 8 & 2 \\\\ 2 & 0 & 3 & 1\end{array}\right|

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -5 \\[6pt] 3 & 0 & 9 & 4 \\[6pt] 4 & 0 & 8 & 2 \\[6pt] 2 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}
e precisamos calcular \det(A) e, se existir, A^{-1}. Vamos usar propriedades de determinante (expansão de Laplace) e o fato de que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.]

Passo 2

Para calcular \det(A), observe que toda a segunda coluna é zero. Ao expandir por essa coluna, cada termo da soma será da forma
(-1)^{i+2}\,a_{i2}\,M_{i2},
mas a_{i2}=0 para i=1,2,3,4. Logo,
\det(A) =\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+2}a_{i2}M_{i2} =0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A é singular e, portanto, não possui matriz inversa.

Resposta

\det(A)=0
A matriz inversa não existe.

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