Calcule o determinante da matriz M=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 2 & 5 & 1 \\\\ 3 & 7 & -1 & 0 \\\\ 4 & 1 & 2 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4. Aqui o conteúdo é cálculo de determinantes via expansão de Laplace (cofatores). Para resolver, vamos expandir ao longo da primeira linha, pois ela tem dois zeros e reduz o número de cálculos.

Passo 2

Aplicando a expansão de Laplace na primeira linha, temos
\det(M)=3\,C_{11}+1\,C_{12}+0\cdot C_{13}+0\cdot C_{14}
onde
C_{11}=(-1)^{1+1}\det(A)=\det(A), \quad C_{12}=(-1)^{1+2}\det(B)=-\det(B).
Os menores correspondentes são
A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\\\ 7 & -1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} -1 & 5 & 1 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
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\det(M)=3\det(A)-\det(B).

Passo 3

Para \det(A) usamos a regra de Sarrus ou cofatores em 3\times3:
\det(A) =2\bigl((-1)\cdot1-0\cdot2\bigr) -5\bigl(7\cdot1-0\cdot1\bigr) +1\bigl(7\cdot2-(-1)\cdot1\bigr) =-2-35+15=-22.

Passo 4

Para \det(B) fazemos o mesmo:
\det(B) =-1\bigl((-1)\cdot1-0\cdot2\bigr) -5\bigl(3\cdot1-0\cdot4\bigr) +1\bigl(3\cdot2-(-1)\cdot4\bigr) =1-15+10=-4.

Passo 5

Substituindo em \det(M)=3\det(A)-\det(B), obtemos
\det(M)=3\cdot(-22)-(-4)=-66+4=-62.

Resposta

\det(M)=-62

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