1. Para quais valores de z a igualdade \exp (i \bar{z})=\overline{\exp i \bar{z}} é verdadeira?

Passo 1

O enunciado pede os z\in\mathbb{C} tais que
\exp\bigl(i\,\overline{z}\bigr) =\overline{\exp\bigl(i\,\overline{z}\bigr)}.
O conteúdo principal é a propriedade da exponencial complexa com respeito à conjugação e a relação entre z e \overline{z}.

Passo 2

Usamos a propriedade \overline{\exp(w)}=\exp\bigl(\overline{w}\bigr). Tomando w=i\,\overline{z}, temos
\overline{\exp\bigl(i\,\overline{z}\bigr)} =\exp\bigl(\overline{i\,\overline{z}}\bigr) =\exp\bigl(-\,i\,z\bigr).

Passo 3

A igualdade pedida fica
\exp\bigl(i\,\overline{z}\bigr) =\exp\bigl(-\,i\,z\bigr).
Dividindo ambos os lados por \exp(-i\,z), obtemos
\exp\bigl(i\,\overline{z}+i\,z\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad \exp\bigl(i(\overline{z}+z)\bigr)=1.

Passo 4

Note que \overline{z}+z=2\,\Re(z). Logo
\exp\bigl(i\cdot2\,\Re(z)\bigr)=1.
Para a exponencial valer 1, o seu argumento deve ser múltiplo de 2\pi:
2\,\Re(z)=2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad \Re(z)=k\pi.

Resposta

A igualdade vale exatamente para
z=k\pi+i\,y, \quad k\in\mathbb{Z},\;y\in\mathbb{R},
ou seja, quando a parte real de z é um múltiplo inteiro de \pi.

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