Mostre que
\cos w-\cos z=2 \sin \left(\frac{z+w}{2}\right) \sin \left(\frac{z-w}{2}\right)

Passo 1

O objetivo é mostrar a identidade trigonométrica
\cos w - \cos z = 2 \,\sin\!\Bigl(\frac{z+w}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\frac{z-w}{2}\Bigr).
Vamos usar a forma exponencial das funções trigonométricas, que é o caminho mais direto.

Passo 2

Recordando a fórmula de Euler, para qualquer argumento real (ou complexo) \theta temos
e^{i\theta} = \cos \theta + i\,\sin \theta \quad\Longrightarrow\quad \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}.
Então escrevemos
\cos w = \frac{e^{i w} + e^{-i w}}{2}, \qquad \cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}.

Passo 3

Subtraindo as duas expressões:
\cos w - \cos z = \frac{e^{i w} + e^{-i w} - e^{i z} - e^{-i z}}{2} = \frac{\bigl(e^{i w} - e^{i z}\bigr) + \bigl(e^{-i w} - e^{-i z}\bigr)}{2}.

Passo 4

Em cada parêntese, fatoramos a média dos expoentes. Por exemplo,
e^{i w} - e^{i z} = e^{i\frac{w+z}{2}}\Bigl(e^{i\frac{w-z}{2}} - e^{-i\frac{w-z}{2}}\Bigr) = e^{i\frac{w+z}{2}}\cdot 2i\,\sin\!\Bigl(\frac{w-z}{2}\Bigr).
Analogamente,
e^{-i w} - e^{-i z} = e^{-i\frac{w+z}{2}}\Bigl(e^{-i\frac{w-z}{2}} - e^{i\frac{w-z}{2}}\Bigr) = -\,e^{-i\frac{w+z}{2}}\cdot 2i\,\sin\!\Bigl(\frac{w-z}{2}\Bigr).

Passo 5

Substituindo na expressão de \cos w - \cos z:
\cos w - \cos z = \frac{1}{2}\Bigl[ 2i\,e^{i\frac{w+z}{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{w-z}{2}\bigr) -2i\,e^{-i\frac{w+z}{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{w-z}{2}\bigr) \Bigr].
Fatorando 2i\sin\!\bigl(\tfrac{w-z}{2}\bigr):
\cos w - \cos z = i\,\sin\!\Bigl(\frac{w-z}{2}\Bigr) \bigl(e^{i\frac{w+z}{2}} - e^{-i\frac{w+z}{2}}\bigr).

Passo 6

Mas novamente pela fórmula de Euler temos
e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} = 2i\,\sin\alpha.
Aplicando isso com \alpha = \tfrac{w+z}{2}, obtemos
\cos w - \cos z = i\,\sin\!\Bigl(\tfrac{w-z}{2}\Bigr)\cdot 2i\,\sin\!\Bigl(\tfrac{w+z}{2}\Bigr) = 2\,\sin\!\Bigl(\tfrac{z+w}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{z-w}{2}\Bigr),
onde no sinal trocamos \sin\bigl(\tfrac{w-z}{2}\bigr)=-\sin\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr) para chegar à forma desejada.

Resposta

\displaystyle \cos w - \cos z = 2 \,\sin\!\Bigl(\tfrac{z+w}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{z-w}{2}\Bigr).

Exercícios relacionados