Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & -2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right). Calcule o determinante da matriz produto A B.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\[6pt]0 & 2 & -2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt]1 & 2 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}
e pede o determinante de AB. Primeiro vamos multiplicar A por B para obter uma matriz 2\times2, depois aplicamos a fórmula do determinante de uma 2\times2.]

Passo 2

Para calcular AB, usamos produto linha × coluna:
AB=\begin{pmatrix} (-1)\cdot2 + 0\cdot1 + 1\cdot0 & (-1)\cdot(-1) + 0\cdot2 + 1\cdot1 \\[6pt] 0\cdot2 + 2\cdot1 + (-2)\cdot0 & 0\cdot(-1) + 2\cdot2 + (-2)\cdot1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[3pt]2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(M)=ad - bc. Aqui a=-2, b=2, c=2, d=2, então
\det(AB)=(-2)\cdot2 - 2\cdot2 = -4 - 4 = -8.

Resposta

\det(AB) = -8

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