O enunciado nos dá uma matriz de ordem 9 que, olhando suas entradas, é bloco-diagonal com três blocos independentes:
um bloco 4\times4 nas linhas e colunas 1 a 4,
um bloco 3\times3 nas linhas e colunas 5 a 7,
e um bloco 2\times2 nas linhas e colunas 8 a 9.
Como o determinante de uma matriz bloco-diagonal é o produto dos determinantes de cada bloco, basta calcular separadamente \det(A_4), \det(A_3) e \det(A_2) e depois multiplicar.
Passo 2
O bloco 4\times4 pode ser escrito em forma anti-diagonal de dois blocos 2\times2:
A_4 = \begin{pmatrix} 0_{2\times2} & B\\\ C & 0_{2\times2} \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}5 & 4 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix},\; C = \begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.