Calcule o determinante da matriz
\left(\begin{array}{ccccccccc}0 & 0 & 5 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 3 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz de ordem 9 que, olhando suas entradas, é bloco-diagonal com três blocos independentes:
  • um bloco 4\times4 nas linhas e colunas 1 a 4,
  • um bloco 3\times3 nas linhas e colunas 5 a 7,
  • e um bloco 2\times2 nas linhas e colunas 8 a 9.
Como o determinante de uma matriz bloco-diagonal é o produto dos determinantes de cada bloco, basta calcular separadamente
\det(A_4), \det(A_3) e \det(A_2) e depois multiplicar.

Passo 2

O bloco 4\times4 pode ser escrito em forma anti-diagonal de dois blocos 2\times2:
A_4 = \begin{pmatrix} 0_{2\times2} & B\\\ C & 0_{2\times2} \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}5 & 4 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix},\; C = \begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.
Para esse formato vale
\det(A_4) = (-1)^{2\cdot2}\det(B)\det\text{(C)} = \det(B)\,\det\text{(C)}.
Calculamos
\det(B) = 5\cdot1 - 4\cdot2 = -3, \quad \det\text{(C)} = 4\cdot1 - 1\cdot(-3) = 7,
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\det(A_4) = (-3)\times7 = -21.

Passo 3

O bloco 3\times3 é
A_3 = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha,
\det(A_3) =4\,(0\cdot2 - 1\cdot0) -3\,(2\cdot2 -1\cdot3) +1\,(2\cdot0 -0\cdot3) =-3.

Passo 4

O bloco 2\times2 final é
A_2 = \begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix},
portanto
\det(A_2) = 2\cdot3 -(-1)\cdot1 = 6 + 1 = 7.

Passo 5

Multiplicando os três determinantes obtidos:
\det = \det(A_4)\,\det(A_3)\,\det(A_2) = (-21)\times(-3)\times7 = 441.

Resposta

O determinante da matriz dada é 441.

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