Identifique a quádrica
e determine seu centro. Em seguida, identifique a curva obtida pela interseção de
com o plano
e determine os parâmetros geométricos dessa curva.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádrupla
e pede primeiro para identificar que tipo de quádrupla é e determinar seu centro. Em seguida, devemos intersectar
com o plano
e reconhecer a curva obtida, além de achar seus parâmetros geométricos (centro e semi-eixos).
Passo 2
Para identificar a quádrupla e seu centro, vamos completar quadrados nas variáveis que aparecem com termo linear. Note em
que
Substituindo em
, obtemos
Essa é a equação de um elipsóide central, pois todos os quadrados somam
. O centro
desse elipsóide é o ponto que anula cada termo quadrado deslocado, ou seja,
Os semi-eixos valem
na direção
,
na direção
e
na direção
.
Passo 3
Para a interseção com o plano
, basta pôr
na forma canônica:
Essa é a equação de uma elipse no plano
. O centro dessa elipse é
e seus semi-eixos são
Resposta
A superfície
é um elipsóide central de equação
com centro
e semi-eixos
.
A interseção é a elipse
A interseção
no plano
, de centro
e semi-eixos iguais a
(direção
) e
(direção
).