Identifique a quádrica
\Omega: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+(z-2)^{2}-6 x+8=0
e determine seu centro. Em seguida, identifique a curva obtida pela interseção de \Omega com o plano \pi: x=3 e determine os parâmetros geométricos dessa curva.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla
\Omega: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+(z-2)^{2}-6x+8=0
e pede primeiro para identificar que tipo de quádrupla é e determinar seu centro. Em seguida, devemos intersectar \Omega com o plano \pi:x=3 e reconhecer a curva obtida, além de achar seus parâmetros geométricos (centro e semi-eixos).

Passo 2

Para identificar a quádrupla e seu centro, vamos completar quadrados nas variáveis que aparecem com termo linear. Note em x^{2}-6x que
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9.
Substituindo em \Omega, obtemos
(x-3)^{2}-9 + \frac{y^{2}}{4} + (z-2)^{2} + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^{2} + \frac{y^{2}}{4} + (z-2)^{2} = 1.
Essa é a equação de um elipsóide central, pois todos os quadrados somam 1. O centro C desse elipsóide é o ponto que anula cada termo quadrado deslocado, ou seja,
C = (3,0,2).
Os semi-eixos valem a=1 na direção x, b=2 na direção y e c=1 na direção z.

Passo 3

Para a interseção com o plano \pi\colon x=3, basta pôr x=3 na forma canônica:
(3-3)^{2} + \frac{y^{2}}{4} + (z-2)^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{4} + (z-2)^{2} = 1.
Essa é a equação de uma elipse no plano x=3. O centro dessa elipse é
C' = (3,0,2),
e seus semi-eixos são
\text{semi-eixo em \(y\)} = 2, \quad \text{semi-eixo em \(z\)} = 1.

Resposta

A superfície \Omega é um elipsóide central de equação
(x-3)^{2} + \frac{y^{2}}{4} + (z-2)^{2} = 1
com centro C=(3,0,2) e semi-eixos (1,2,1).
A interseção \Omega\cap\{x=3\} é a elipse
\frac{y^{2}}{4} + (z-2)^{2} = 1
no plano x=3, de centro (3,0,2) e semi-eixos iguais a 2 (direção y) e 1 (direção z).

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