Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os vetores u=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 3\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 5\end{array}\right], w=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2}, calcule \|2 u-v\| e d(u+v, v-w) nos seguintes casos :
\langle, \rangle é o produto escalar.é

Passo 1

O enunciado trabalha em V=\mathbb{R}^2 com o produto escalar usual e pede:
  1. \|2u - v\|, onde a norma é
\|z\| = \sqrt{\langle z, z\rangle}.
  1. d(u+v,\;v-w), onde a distância é
d(p,q)=\|p-q\|.
Para isso, vamos fazer as somas e subtrações de vetores e aplicar as fórmulas acima.

Passo 2

Calcular 2u - v e a norma correspondente:
2u = 2\begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\\ 6\end{pmatrix}, \quad 2u - v =\begin{pmatrix}-2\\\ 6\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo,
\|2u - v\| =\sqrt{\bigl\langle\begin{pmatrix}-4\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-4\\\ 1\end{pmatrix}\bigr\rangle} =\sqrt{(-4)^2 + 1^2} =\sqrt{17}.

Passo 3

Calcular d(u+v,\;v-w). Primeiro as somas e subtrações:
u+v =\begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 8\end{pmatrix}, \quad v-w =\begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\\ 3\end{pmatrix}.
Então
(u+v)-(v-w) =\begin{pmatrix}1\\\ 8\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}3\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\\ 5\end{pmatrix},
e a distância é
d(u+v,\;v-w) =\Bigl\|\begin{pmatrix}-2\\\ 5\end{pmatrix}\Bigr\| =\sqrt{(-2)^2 + 5^2} =\sqrt{29}.

Resposta

\|2u - v\| = \sqrt{17},\quad d(u+v,\;v-w) = \sqrt{29}.

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