Considere os vetores de \mathbb{R}^{3}, u=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right]. Determine \langle u+3 v, u-v\rangle,\|2 u-v\|, d(u, v), d(u+v, u-v) nos seguintes casos:
(a) \langle, \rangle é o produto escalar.é
(b) \langle, \rangle é o produto interno com pessos p_{1}=1, p_{2}=2, p_{3}=1é

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores em \mathbb{R}^3
u = \begin{pmatrix}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}3 \\\\ 0 \\\\ -3\end{pmatrix},
e pede quatro quantidades:
\langle u+3v,\,u-v\rangle, \|2u-v\|, d(u,v) e d(u+v,\,u-v), primeiro usando o produto escalar usual e depois usando o produto interno pesado com p_1=1, p_2=2, p_3=1.
Vamos precisar das definições
\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^3 x_i\,y_i,\quad \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle},\quad d(x,y)=\|x-y\|
e no caso pesado
\langle x,y\rangle_p = p_1\,x_1y_1 + p_2\,x_2y_2 + p_3\,x_3y_3,\quad \|x\|_p = \sqrt{\langle x,x\rangle_p},\quad d_p(x,y)=\|x-y\|_p.

Passo 2

Calculamos primeiro os vetores auxiliares:
u+3v = \begin{pmatrix}2+3\cdot3 \\\\ -1+3\cdot0 \\\\ 3+3\cdot(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 \\\\ -1 \\\\ -6\end{pmatrix}, \quad u-v = \begin{pmatrix}2-3 \\\\ -1-0 \\\\ 3-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\\\ -1 \\\\ 6\end{pmatrix},
2u-v = \begin{pmatrix}2\cdot2-3 \\\\ 2\cdot(-1)-0 \\\\ 2\cdot3-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\\\ -2 \\\\ 9\end{pmatrix}.

Passo 3

Caso (a): produto escalar usual.
\displaystyle\langle u+3v,\,u-v\rangle = 11\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+(-6)\cdot6 = -11+1-36 = -46.
\displaystyle\|2u-v\| = \sqrt{1^2+(-2)^2+9^2} = \sqrt{1+4+81} = \sqrt{86}.
\displaystyle d(u,v) = \|u-v\| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+6^2} = \sqrt{1+1+36} = \sqrt{38}.
\displaystyle d(u+v,\,u-v): primeiro u+v=(5,-1,0), então
\,(u+v)-(u-v)=(6,0,-6) e
\displaystyle d(u+v,\,u-v)=\sqrt{6^2+0^2+(-6)^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.

Passo 4

Caso (b): produto interno pesado com p_1=1, p_2=2, p_3=1.
\displaystyle\langle u+3v,\,u-v\rangle_p = 1\cdot(11)(-1) + 2\cdot(-1)(-1) + 1\cdot(-6)(6) = -11 +2 -36 = -45.
\displaystyle\|2u-v\|_p = \sqrt{1\cdot1^2 +2\cdot(-2)^2 +1\cdot9^2} = \sqrt{1+8+81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.
\displaystyle d_p(u,v) = \|u-v\|_p = \sqrt{1\cdot(-1)^2 +2\cdot(-1)^2 +1\cdot6^2} = \sqrt{1+2+36} = \sqrt{39}.
\displaystyle d_p(u+v,\,u-v) = \|(6,0,-6)\|_p = \sqrt{1\cdot6^2 +2\cdot0^2 +1\cdot(-6)^2} = \sqrt{36+0+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.

Resposta

(a) \langle u+3v,\,u-v\rangle = -46,\quad \|2u-v\| = \sqrt{86},\quad d(u,v)=\sqrt{38},\quad d(u+v,\,u-v)=6\sqrt{2}.
(b) \langle u+3v,\,u-v\rangle_p = -45,\quad \|2u-v\|_p = 3\sqrt{10},\quad d_p(u,v)=\sqrt{39},\quad d_p(u+v,\,u-v)=6\sqrt{2}.

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