Considere os vetores de \mathbb{R}^{3}, u=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right]. Determine \langle u+3 v, u-v\rangle,\|2 u-v\|, d(u, v), d(u+v, u-v) nos seguintes casos:
(a) \langle,\rangle é o produto escalar.é
(b) \langle,\rangle é o produto interno com pessos p_{1}=1, p_{2}=2, p_{3}=1é
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores em \mathbb{R}^3
u = \begin{pmatrix}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}3 \\\\ 0 \\\\ -3\end{pmatrix},
e pede quatro quantidades: \langle u+3v,\,u-v\rangle, \|2u-v\|, d(u,v) e d(u+v,\,u-v), primeiro usando o produto escalar usual e depois usando o produto interno pesado com p_1=1, p_2=2, p_3=1.
Vamos precisar das definições
\displaystyle d(u+v,\,u-v): primeiro u+v=(5,-1,0), então \,(u+v)-(u-v)=(6,0,-6) e \displaystyle d(u+v,\,u-v)=\sqrt{6^2+0^2+(-6)^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.
Passo 4
Caso (b): produto interno pesado com p_1=1, p_2=2, p_3=1.