Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}t & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\\\ 0 & s & 2 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right], com t, s \in \mathbb{R} fixados tais que t \neq 3 e s \neq 0, calcule o determinante de:
A^{-1} B^{T}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix} t & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & s & 2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix},
onde t\neq3 e s\neq0. Precisamos encontrar \det\bigl(A^{-1}B^T\bigr). O conteúdo envolvido é determinante de produto e de matriz transposta, além de cálculo de determinantes 3\times 3.

Passo 2

Usamos as propriedades
\det\bigl(A^{-1}B^T\bigr) = \det(A^{-1})\;\det\bigl(B^T\bigr) = \frac{1}{\det(A)}\;\det(B),
já que \det(B^T)=\det(B).

Passo 3

Calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = t\begin{vmatrix}1 & 5\\\ 0 & 1\end{vmatrix} -0\cdot\bigl(\cdots\bigr) +1\begin{vmatrix}0 & 1\\\ 3 & 0\end{vmatrix} = t(1\cdot1-5\cdot0)+1(0\cdot0-1\cdot3) = t - 3.

Passo 4

Calcular \det(B) por expansão na primeira linha:
\det(B) =2\begin{vmatrix}s & 2\\\ 1 & 2\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}0 & 2\\\ 1 & 2\end{vmatrix} +2\begin{vmatrix}0 & s\\\ 1 & 1\end{vmatrix} =2(2s-2)-2(-2)+2(-s) =4s-4+4-2s =2s.

Passo 5

Substituindo em \det(A^{-1}B^T)=\dfrac{\det(B)}{\det(A)}, obtemos
\det\bigl(A^{-1}B^T\bigr) =\frac{2s}{\,t-3\,}.

Resposta

\displaystyle \frac{2s}{t-3}

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