Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}t & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\\\ 0 & s & 2 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right], com t, s \in \mathbb{R} fixados tais que t \neq 3 e s \neq 0, calcule o determinante de:
B^{-1} A^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}t & 0 & 1 \\[6pt]0 & 1 & 5 \\[6pt]3 & 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}2 & 2 & 2 \\[6pt]0 & s & 2 \\[6pt]1 & 1 & 2\end{pmatrix}
com t\neq 3 e s\neq 0, e pede \det\bigl(B^{-1}A^{2}\bigr). O conteúdo aqui é determinante e suas propriedades multiplicativas:
\det\bigl(B^{-1}A^{2}\bigr)=\det(B^{-1})\;\det(A^{2}) \quad\text{e}\quad \det(A^{2})=\bigl[\det(A)\bigr]^{2}.]

Passo 2

Usando a propriedade de determinantes de inversa e potência, temos
\det\bigl(B^{-1}A^2\bigr) =\det\bigl(B^{-1}\bigr)\,\det\bigl(A^2\bigr) =\frac{1}{\det(B)}\;\bigl[\det(A)\bigr]^2.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =t\cdot\det\begin{pmatrix}1&5\\\ 0&1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 3&0\end{pmatrix} =t\,(1\cdot1-5\cdot0)+1\,(0\cdot0-1\cdot3) =t-3.
Para \det(B) expandimos também na primeira linha:
\det(B) =2\det\begin{pmatrix}s&2\\\ 1&2\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&2\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}0&s\\\ 1&1\end{pmatrix} =2(2s-2)-2(-2)+2(-s) =2s.

Resposta

\det\bigl(B^{-1}A^2\bigr) =\frac{(\,t-3\,)^2}{2\,s}.

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