Calcule o determinante da matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 3\\\\ 2 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de determinante por expansão em cofatores e determinantes de matrizes 3\times3.

Passo 2

Expandimos \det(A) pela primeira linha. Só os elementos a_{11}=1 e a_{12}=-2 são não nulos. Assim,
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} =1\cdot C_{11} +(-2)\cdot C_{12},
onde
C_{11} = (-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix},
C_{12} = (-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = -\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} =1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 0\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Avalia cada termo:
1\cdot(0\cdot0 - 1\cdot2) = -2, \quad -1\cdot(0\cdot0 - 1\cdot(-1)) = -1, \quad 3\cdot(0\cdot2 - 0\cdot(-1)) = 0.
Logo C_{11} = -2 - 1 + 0 = -3.

Passo 4

Calculamos
\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} =0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
Avalia:
0\cdot(*) = 0, \quad -1\cdot(2\cdot0 - 1\cdot0) = 0, \quad 3\cdot(2\cdot2 - 0\cdot0) = 12.
Então \det(\dots)=12 e C_{12} = -12.

Passo 5

Substituindo na expansão:
\det(A) = 1\cdot(-3) + (-2)\cdot(-12) = -3 + 24 = 21.

Resposta

21

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