Determine todos os pontos em que a função é contínua.
h(x, y)=\operatorname{sen} \frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado pede os pontos de continuidade da função
h(x,y)=\sin\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr).
O conteúdo aqui é análise de continuidade de composição de funções: divisão e aplicação da função seno.

Passo 2

Identificamos o domínio natural de h. A expressão \frac{y}{x} só faz sentido quando x\neq0. Portanto o domínio de h é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq0\}.

Passo 3

Sabemos que a função \displaystyle (x,y)\mapsto\frac{y}{x} é contínua em todo ponto com x\neq0, pois divisão por uma variável não nula preserva a continuidade. Além disso, \sin é contínua em toda reta. Logo a composição
(x,y)\;\longmapsto\;\sin\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)
é contínua em todo ponto de D.

Passo 4

Para x=0, a função não está definida, logo não há como falar em continuidade nesses pontos.

Resposta

A função h é contínua em todos os pontos (x,y) tais que x\neq0.

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