2^{\text {a }} Questāo: (40 pontos) Calcule a derivada de f, onde:
f(x)=x \ln (x)-x ;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\ln(x)-x.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas, em especial a regra do produto e a derivada de \ln(x).

Passo 2

Para derivar o termo x\ln(x) usamos a regra do produto. Seja u(x)=x e v(x)=\ln(x). Então
u'(x)=1, \quad v'(x)=\frac{1}{x}.
Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}[x\ln(x)] = u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x} =\ln(x)+1.

Passo 3

A derivada de -x é
\frac{d}{dx}[-x]=-1.

Passo 4

Somando as duas parcelas, obtemos
f'(x)=\bigl(\ln(x)+1\bigr)+(-1)=\ln(x).

Resposta

f'(x)=\ln(x).

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