2^{\text {a }} Questāo: (40 pontos) Calcule a derivada de f, onde:
f(x)=x e^{-5 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x\,e^{-5x}
O conteúdo envolvido é a Derivação de um produto de funções e a Regra da Cadeia, já que temos uma função exponencial composta.

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que compõem o produto:
u(x) =x
v(x) = e^{-5x}
Pela Regra do Produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u’(x) = \frac{d}{dx}[x]=1
Para v(x) = e^{-5x}, aplicamos a Regra da Cadeia:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-5x}\bigr) =e^{-5x}\cdot\frac{d}{dx}[-5x] =e^{-5x}\cdot(-5) =-5\,e^{-5x}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), temos
f'(x)=1\cdot e^{-5x}+x\cdot\bigl(-5\,e^{-5x}\bigr) =e^{-5x}-5x\,e^{-5x}.

Passo 5

Podemos fatorar e^{-5x} para dar uma forma mais compacta:
f'(x)=e^{-5x}\bigl(1-5x\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{-5x}\,(1-5x).

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