Calcule o determinante da matriz A=\left[\begin{array}{lll}p & q & r \\\ x & y & z \\\ a & b & c\end{array}\right], sabendo que o determinante da matriz
B=\left[\begin{array}{ccc}5 a & 5 b & 5 c \\\\ 3 x+p & 3 y+q & 3 z+r \\\\ -2 x & -2 y & -2 z\end{array}\right] é 2.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} p & q & r\\\ x & y & z\\\ a & b & c \end{pmatrix}
e a matriz
B = \begin{pmatrix} 5a & 5b & 5c\\\\ 3x+p & 3y+q & 3z+r\\\\ -2x & -2y & -2z \end{pmatrix}
sabendo que \det(B)=2. Vamos usar propriedades do determinante (multilinearidade em linhas, efeito de fator escalar e permutação de linhas) para escrever \det(B) em função de \det(A).

Passo 2

Denotemos as linhas de A por
R_1 = [\,p\\ q\\ r\,],\quad R_2 = [\,x\\ y\\ z\,],\quad R_3 = [\,a\\ b\\ c\,].
Então as linhas de B podem ser vistas como combinações dessas:
\text{linha}_1(B)=5\,R_3,\quad \text{linha}_2(B)=R_1+3\,R_2,\quad \text{linha}_3(B)=-2\,R_2.

Passo 3

Extraindo o fator 5 da primeira linha e -2 da terceira linha de B,
\det(B) =5\cdot(-2)\;\det\bigl[R_3,\\ R_1+3R_2,\\ R_2\bigr] =-10\;\det\bigl[R_3,\\ R_1+3R_2,\\ R_2\bigr].

Passo 4

Usando a linearidade na segunda linha,
\det\bigl[R_3,\\ R_1+3R_2,\\ R_2\bigr] =\det[R_3,R_1,R_2]+3\,\det[R_3,R_2,R_2].
Mas \det[R_3,R_2,R_2]=0 (duas linhas iguais), logo
\det(B)=-10\;\det[R_3,R_1,R_2].

Passo 5

A matriz cujas linhas são [R_3,R_1,R_2] é obtida de A por uma permutação cíclica de três linhas, que é par. Portanto
\det[R_3,R_1,R_2]=\det(A),
e assim
\det(B)=-10\,\det(A).

Passo 6

Como \det(B)=2, temos
2=-10\,\det(A) \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=-\frac{1}{5}.

Resposta

\det(A)=-\frac{1}{5}.

Exercícios relacionados