Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 5 & 6 & 1 & 6 \\\\ 0 & 0 & 2 & 5 \\\\ 1 & 0 & 0 & 3\end{array}\right].
( 20 pontos) Calcule \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 5 & 6 & 1 & 6\\\\ 0 & 0 & 2 & 5\\\\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede \det(A). Vamos usar a expansão de Laplace (cofatores) numa coluna ou linha com muitos zeros para simplificar o cálculo.

Passo 2

Observamos que a segunda coluna de A tem três zeros e um único elemento não nulo a_{2,2}=6. Aplicando a expansão de Laplace nessa coluna:
\det(A) =\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+2}a_{i2}\det(A_{i2}) =(-1)^{2+2}\,6\;\det(M) =6\;\det(M),
onde M é o menor obtido ao excluir a linha 2 e a coluna 2 de A.

Passo 3

O menor M de ordem 3 é
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 5\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para calcular \det(M), usamos expansão na primeira linha:
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 0 & 3\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 5\\\ 1 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 0 & 3\end{pmatrix} =2\cdot3-5\cdot0=6, \qquad \det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =0\cdot0-2\cdot1=-2.
Logo,
\det(M)=6+(-2)=4.

Passo 5

Substituindo em \det(A)=6\cdot\det(M), temos
\det(A)=6\cdot4=24.

Resposta

\det(A)=24.

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