Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 6 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].
(a) ( 20 pontos) Encontre A^{-1}.
(b) (10 pontos ) Encontre a matriz M tal que A^{-1} M=2 C.

Passo 1

O enunciado dá
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 6 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede (a) A^{-1} e (b) a matriz M tal que
A^{-1}M = 2\,C.
Para (a) vamos resolver AX = I para X=A^{-1}. Para (b) basta isolar M em A^{-1}M=2C.

Passo 2

Seja X=(x_{ij})\) tal que \[A\,X = I.
Multiplicando, obtemos para cada coluna j:
\begin{cases} \text{linha 1: }x_{1j} = \delta_{1j},\\[6pt] \text{linha 3: }x_{3j} = \delta_{3j},\\[6pt] \text{linha 2: }3\,x_{1j} + x_{2j} +5\,x_{3j} = \delta_{2j}, \end{cases}
onde (\delta_{ij}] é o delta de Kronecker.]

Passo 3

Das duas primeiras equações vem
x_{11}=1,\;x_{12}=0,\;x_{13}=0, \quad x_{31}=0,\;x_{32}=0,\;x_{33}=1.
Na equação da linha 2, para cada j:
  • j=1\colon 3\cdot1 + x_{21} +5\cdot0 = 0 \implies x_{21}=-3.
  • j=2\colon 3\cdot0 + x_{22} +5\cdot0 = 1 \implies x_{22}=1.
  • j=3\colon 3\cdot0 + x_{23} +5\cdot1 = 0 \implies x_{23}=-5.

Passo 4

Logo
A^{-1} = X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -3 & 1 & -5\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para encontrar M use A^{-1}M=2C. Multiplicando à esquerda por A
M = A\,(2C)=2\,(A\,C).

Passo 6

Calcule A\,C:
A\,C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 6 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 5 & 9 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplicando por 2,
M = 2\,(A\,C) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ 10 & 18 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \displaystyle\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -3 & 1 & -5\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad M = \displaystyle\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ 10 & 18 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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