Sabendo que A=\left[\begin{array}{ll}0 & 5 \\\\ 2 & 3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 0\end{array}\right], encontre a matriz X tal que X+B=\left(I_{2}+A^{t}\right)^{t} B.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}0 & 5 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix}
e pede X tal que
X + B = \bigl(I_{2} + A^{t}\bigr)^{t} \, B.
O conteúdo envolvido é transposição de matrizes e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Calcular a transposta de A:
A^{t} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 5 & 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Somar I_{2} a A^{t}:
I_{2} + A^{t} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix}.

Passo 4

Transpor o resultado de I_{2} + A^{t}:
\bigl(I_{2} + A^{t}\bigr)^{t} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix}^{t} = \begin{pmatrix}1 & 5 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.

Passo 5

Multiplicar \bigl(I_{2}+A^{t}\bigr)^{t} por B:
\begin{pmatrix}1 & 5 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 5\cdot2 & 1\cdot4 + 5\cdot0 \\\\ 2\cdot1 + 4\cdot2 & 2\cdot4 + 4\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 & 4 \\\\ 10 & 8\end{pmatrix}.

Passo 6

Como X + B = \begin{pmatrix}11 & 4 \\\\ 10 & 8\end{pmatrix}, então
X = \begin{pmatrix}11 & 4 \\\\ 10 & 8\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 & 0 \\\\ 8 & 8\end{pmatrix}.

Resposta

X = \begin{pmatrix}10 & 0 \\\\ 8 & 8\end{pmatrix}

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