Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
T(x, y)=(2 x-y, x+3 y) .
(a) Verifique se T é uma aplicação linear.
(b) Calcule T(1,0) e T(0,1).
(c) Determine a matriz de T em relação à base canônica.
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (2x - y,\;x + 3y).
Vamos verificar se T é linear, calcular T(1,0) e T(0,1) e, a partir daí, montar a matriz de T na base canônica. Para isso precisaremos usar a definição de aplicação linear (preservar soma e multiplicação por escalar) e o fato de que as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base.
Passo 2
Para mostrar que T é linear, tome dois vetores \mathbf{u}=(x_1,y_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2) e um escalar c. Então: