Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
T(x, y)=(2 x-y, x+3 y) .
(a) Verifique se T é uma aplicação linear.
(b) Calcule T(1,0) e T(0,1).
(c) Determine a matriz de T em relação à base canônica.

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (2x - y,\;x + 3y).
Vamos verificar se T é linear, calcular T(1,0) e T(0,1) e, a partir daí, montar a matriz de T na base canônica. Para isso precisaremos usar a definição de aplicação linear (preservar soma e multiplicação por escalar) e o fato de que as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, tome dois vetores \mathbf{u}=(x_1,y_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2) e um escalar c. Então:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
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T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)\bigr)
= \bigl((2x_1-y_1)+(2x_2-y_2),\;(x_1+3y_1)+(x_2+3y_2)\bigr) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).
E
T(c\mathbf{u}) = T(cx_1,\;cy_1) = \bigl(2(cx_1)-(cy_1),\;(cx_1)+3(cy_1)\bigr) = c\,(2x_1-y_1,\;x_1+3y_1) = c\,T(\mathbf{u}).
Portanto T preserva soma e produto por escalar, logo é linear.

Passo 3

Calculando as imagens dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1):
T(1,0) = (2\cdot1-0,\;1+3\cdot0) = (2,1),
T(0,1) = (2\cdot0-1,\;0+3\cdot1) = (-1,3).

Passo 4

Na base canônica, a matriz de T tem como primeira coluna T(1,0) e segunda coluna T(0,1). Assim,
[T]_{\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) T é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar.
(b) T(1,0) = (2,1) e T(0,1) = (-1,3).
(c) A matriz de T na base canônica é
\begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

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