Q7: Calcule o determinante da matriz
\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 7 & 7 & 9 \end{array}\right]
(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de uma matriz 4\times4. O conteúdo principal aqui é usar operações elementares em linhas para reduzi-la a uma forma triangular, fazendo controle das trocas de linha que afetam o sinal do determinante.

Passo 2

Vamos trocar a linha 1 pela linha 2 para ter um pivô não nulo em (1,1). Essa troca inverte o sinal do determinante. Assim, escrevemos a matriz após a troca R_1\leftrightarrow R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3\\\\ -2 & 1 & 0 & -1\\\\ 1 & 7 & 7 & 9 \end{pmatrix}
Ficamos com
\det_{\text{orig}} = -\,\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3\\\\ -2 & 1 & 0 & -1\\\\ 1 & 7 & 7 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do pivô (1,1)=1:
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2\,R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1
    A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & 3 & 2 & 1\\\\ 0 & 6 & 6 & 8 \end{pmatrix}.
Como o pivô da primeira coluna vale 1, não muda o valor absoluto do determinante desta forma triangular parcial.

Passo 4

Agora o determinante da matriz em forma quase triangular é o produto do pivô 1 pelo determinante do menor 3\times3 que aparece nas colunas 2,3,4 e linhas 2,3,4. Chamemos esse menor de N:
N = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 3 & 2 & 1\\\\ 6 & 6 & 8 \end{pmatrix}.
Logo
\det_{\text{orig}} = -1 \times 1 \times \det(N) = -\,\det(N).

Passo 5

Calculamos \det(N) por expansão na primeira linha:
\det(N) = 3\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 6 & 8\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 6 & 8\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 6 & 6\end{pmatrix}.
Os menores valem
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 6 & 8\end{pmatrix} =2\cdot8 -1\cdot6 =10,
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 6 & 8\end{pmatrix} =3\cdot8 -1\cdot6 =18,
\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 6 & 6\end{pmatrix} =3\cdot6 -2\cdot6 =6.
Substituindo,
\det(N) = 3\cdot10 - 3\cdot18 + 3\cdot6 = 30 -54 +18 = -6.

Passo 6

Portanto
\det_{\text{orig}} = -\,\det(N) = -(-6) = 6.

Resposta

(B) 6

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