Considere as afirmativas abaixo:
I - Se A é uma matriz 6 \times 6 com entradas reais, então existe necessariamente um vetor não-nulo \vec{v} \in \mathbb{R}^{6} cuja direção é preservada pela ação de A.
II - Se \vec{v} \neq \overrightarrow{0} e \vec{v} pertence à imagem de A, então \vec{v} é um autovetor de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre uma matriz real A\in\mathbb{R}^{6\times6} e vetores em \mathbb{R}^6. O conteúdo principal é autovalores/autovetores e imagem de uma transformação linear. Para resolver, vamos usar:
Teorema Fundamental da Álgebra e fatoração de polinômios reais (para I).
Definição de imagem de A e de autovetor (para II).
Passo 2
Analisando I: “Se A é 6\times6 real, existe necessariamente um vetor não-nulo cuja direção é preservada por A.”
O polinômio característico de A tem grau 6 com coeficientes reais. Por Teorema Fundamental da Álgebra ele se fatora sobre \mathbb{C} em 6 raízes (contando multiplicidade), mas sobre \mathbb{R} pode decompor-se em fatores lineares e quadráticos irreduzíveis. Como o grau é par, é possível que não haja nenhum fator linear real — ou seja, nenhum autovalor real.
Exemplo concreto: a matriz bloco diagonal com três cópias de
\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}
não tem autovalores reais e, portanto, nenhum autovetor real.
Logo, I é falsa.
Passo 3
Analisando II: “Se \vec v\neq\overrightarrow0 e \vec v pertence à imagem de A, então \vec v é um autovetor de A.”
Dizer \vec v\in\mathrm{Im}(A) significa que existe \vec u tal que A\vec u=\vec v. Mas isso não implica A\vec v=\lambda\vec v para algum \lambda.
Contra-exemplo simples em \mathbb{R}^2: