Q2: Seja
uma matriz
com entradas reais. Sabendo que existe uma base de
composta de autovetores de
, qual das opçōes seguintes NÃO pode ser o polinômio característico de
?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
real e que existe uma base de
formada por autovetores de
. Isso significa que
é diagonalizável sobre
. Vamos usar polinômio característico e discriminante para verificar quando os autovalores são reais.
Passo 2
Para
ser diagonalizável sobre
, todos os seus autovalores devem ser reais (ainda que com multiplicidade). Se o polinômio característico
tiver raízes reais, seu discriminante
deve satisfazer
.
Passo 3
Vamos calcular
em cada opção:
Para
temos fatoração
raízes
e
reais, logo
.
Para
temos
raízes reais
e
.
Para
temos
raiz dupla real
.
Para
temos
raízes não reais (complexas conjugadas).
Passo 4
Como só a opção com
não gera autovalores reais, essa não pode ser o polinômio característico de uma matriz diagonalizável sobre
.
Resposta
(D)