Q2: Seja A uma matriz 2 \times 2 com entradas reais. Sabendo que existe uma base de \mathrm{R}^{2} composta de autovetores de A, qual das opçōes seguintes NÃO pode ser o polinômio característico de A ?
(A) p(\lambda)=\lambda^{2}+4 \lambda
(B) p(\lambda)=\lambda^{2}+6 \lambda+8
(C) p(\lambda)=\lambda^{2}+4 \lambda+4
(D) p(\lambda)=\lambda^{2}+5 \lambda+7
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 2\times2 real e que existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores de A. Isso significa que A é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Vamos usar polinômio característico e discriminante para verificar quando os autovalores são reais.

Passo 2

Para A ser diagonalizável sobre \mathbb{R}, todos os seus autovalores devem ser reais (ainda que com multiplicidade). Se o polinômio característico
p(\lambda)=\lambda^2 + b\lambda + c
tiver raízes reais, seu discriminante
\Delta = b^2 - 4c
deve satisfazer \Delta\ge0.

Passo 3

Vamos calcular \Delta em cada opção:
Para p(\lambda)=\lambda^2+4\lambda temos fatoração
p(\lambda)=\lambda(\lambda+4),
raízes 0 e -4 reais, logo \Delta=4^2-4\cdot0=16\ge0.
Para p(\lambda)=\lambda^2+6\lambda+8 temos
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot8 = 36 - 32 = 4 \ge 0,
raízes reais -2 e -4.
Para p(\lambda)=\lambda^2+4\lambda+4 temos
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0,
raiz dupla real -2.
Para p(\lambda)=\lambda^2+5\lambda+7 temos
\Delta = 5^2 - 4\cdot1\cdot7 = 25 - 28 = -3 < 0,
raízes não reais (complexas conjugadas).

Passo 4

Como só a opção com \Delta<0 não gera autovalores reais, essa não pode ser o polinômio característico de uma matriz diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Resposta

(D)

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