Q8: Sabemos que (1, a, b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=7 da matriz \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 7 \\\\ 0 & 7 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right].
Assinale o valor de a.
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 7\\\\ 0 & 7 & 5\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e afirma que (1,a,b) é autovetor de A com autovalor \lambda=7. Para encontrar a, precisamos resolver
(A - 7I)\begin{pmatrix}1\a\b\end{pmatrix} = 0.

Passo 2

Vamos calcular A - 7I:
A - 7I = \begin{pmatrix} 1-7 & 1 & 7 \\\\ 0 & 7-7 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}.
Multiplicando pela coluna \bigl(1,a,b\bigr)^\mathsf{T}, obtemos o sistema
\begin{cases} -6\cdot1 + 1\cdot a + 7\cdot b = 0,\\\\ 0\cdot1 + 0\cdot a + 5\cdot b = 0,\\\\ 0\cdot1 + 0\cdot a -8\cdot b = 0. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação -8b=0 segue b=0. A segunda equação 5b=0 é consistente com isso.

Passo 4

Substituindo b=0 na primeira equação -6 + a + 7\cdot0 = 0, vem
a = 6.

Resposta

6 (alternativa B)

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