Q8: Sabemos que (1, a, b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=7 da matriz \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 7 \\\\ 0 & 7 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]. Assinale o valor de a. (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) Não sei Passo 1O enunciado dá a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 7\\\\ 0 & 7 & 5\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} e afirma que (1,a,b) é autovetor de A com autovalor \lambda=7. Para encontrar a, precisamos resolver (A - 7I)\begin{pmatrix}1\a\b\end{pmatrix} = 0. Passo 2Vamos calcular A - 7I: A - 7I = \begin{pmatrix} 1-7 & 1 & 7 \\\\ 0 & 7-7 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix}. Multiplicando pela coluna \bigl(1,a,b\bigr)^\mathsf{T}, obtemos o sistema \begin{cases} -6\cdot1 + 1\cdot a + 7\cdot b = 0,\\\\ 0\cdot1 + 0\cdot a + 5\cdot b = 0,\\\\ 0\cdot1 + 0\cdot a -8\cdot b = 0. \end{cases} Passo 3Da terceira equação -8b=0 segue b=0. A segunda equação 5b=0 é consistente com isso. Passo 4Substituindo b=0 na primeira equação -6 + a + 7\cdot0 = 0, vem a = 6. Resposta 6 (alternativa B) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQ7: Calcule o determinante da matriz \left[\begin{array}{rrrr} 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 7 & 7 & 9 \end{array}\right] (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) Não sei Q2: Seja A uma matriz 2 \times 2 com entradas reais. Sabendo que existe uma base de \mathrm{R}^{2} composta de autovetores de A, qual das opçōes seguintes NÃO pode ser o polinômio característico de A ? (A) p(\lambda)=\lambda^{2}+4 \lambda (B) p(\lambda)=\lambda^{2}+6 \lambda+8 (C) p(\lambda)=\lambda^{2}+4 \lambda+4 (D) p(\lambda)=\lambda^{2}+5 \lambda+7 (E) Não sei Considere as afirmativas abaixo: I - Se A é uma matriz 6 \times 6 com entradas reais, então existe necessariamente um vetor não-nulo \vec{v} \in \mathbb{R}^{6} cuja direção é preservada pela ação de A. II - Se \vec{v} \neq \overrightarrow{0} e \vec{v} pertence à imagem de A, então \vec{v} é um autovetor de A. (A) Todas são falsas. (B) Apenas I é verdadeira. (C) Apenas II é verdadeira. (D) Todas são verdadeiras. (E) Não sei Q9: Seja \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} uma base do \mathbb{R}^{4}. Se A é uma matriz 4 \times 4 tal que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores associados ao autovalor 6 e \vec{v}_{3} e \vec{v}_{4} são autovetores associados ao autovalor -1 , então o determinante de A vale: (A) 6 (B) -6 (C) 36 (D) -36 (E) Não sei