Q3: Calcule o determinante da matriz
\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 6 & 7 & 7 \\\\ -2 & 8 & 8 & 7 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz 4\times4
A = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 6 & 7 & 7 \\\\ -2 & 8 & 8 & 7 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é determinante e usaremos operações elementares de linha para simplificar o cálculo sem alterar demais o valor do determinante.

Passo 2

Troco as linhas L_1 e L_2 para colocar um pivô não nulo na primeira posição. Lembre-se que trocar linhas muda o sinal do determinante. Então definimos
\begin{aligned} L_1' &= L_2,\\\ L_2' &= L_1, \end{aligned}
o que dá a matriz
A' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 6 & 7 & 7 \\\\ -2 & 8 & 8 & 7 \end{pmatrix},
e
\det(A') = -\det(A).

Passo 3

Agora uso L_3 \gets L_3 - L_1' e L_4 \gets L_4 + 2\,L_1' para zerar a primeira coluna abaixo do pivô, sem alterar o determinante:
\begin{aligned} L_3'' &= (1,6,7,7) - (1,1,1,1) = (0,5,6,6),\\\ L_4'' &= (-2,8,8,7) + 2\,(1,1,1,1) = (0,10,10,9). \end{aligned}
A matriz fica
A'' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 5 & 6 & 6 \\\\ 0 &10 &10 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como a primeira linha e coluna já estão trianguladas, temos
\det(A'') = 1 \times \det\!\begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\\\ 5 & 6 & 6 \\\\ 10 &10 & 9 \end{pmatrix}.
Como \det(A')=\det(A''), concluímos
\det(A) = -\det(A'').

Passo 5

Chamo a submatriz B:
B = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\\\ 5 & 6 & 6 \\\\ 10 &10 & 9 \end{pmatrix}.
Faço operações em B para triangular:
L_2 \gets L_2 - L_1 = (0,1,1),\quad L_3 \gets L_3 - 2\,L_1 = (0,0,-1).
Agora B está triangular e
\det(B) = 5 \times 1 \times (-1) = -5.

Passo 6

Reunindo tudo:
\det(A) = -\det(A'') = -1 \times \det(B) = -(-5) = 5.

Resposta

5

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