Q6: O maior autovalor da matriz A abaixo é:
A=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & -2 & 4 \\\\ 1 & -6 & 8 \end{array}\right]
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) Não sei

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & -2 & 4 \\[3pt] 1 & -6 & 8 \end{pmatrix}
e queremos seus autovalores. O conteúdo aqui é que, para matrizes triangulares por blocos, os autovalores são os autovalores dos blocos diagonais. Vamos usar isso para separar o bloco 3 e o bloco 2\times 2.]

Passo 2

Note que
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\[3pt] * & B \end{pmatrix},
onde
B = \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[3pt] -6 & 8\end{pmatrix}.
Logo os autovalores de A são \lambda_1 = 3 e os autovalores de B. Vamos calcular o polinômio característico de B.]

Passo 3

O polinômio característico de B é
\det(B - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 4 \\[3pt] -6 & 8-\lambda\end{pmatrix} = (-2-\lambda)(8-\lambda) - 4\cdot(-6).
Expandindo:
(-2-\lambda)(8-\lambda) + 24 = \lambda^2 - 6\lambda + 8.
Resolvendo \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0, temos
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2},
ou seja \lambda = 4 ou \lambda = 2.]

Passo 4

Os autovalores de A são \{3,4,2\}. Desses, o maior é \,4.

Resposta

(C)

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