Q5: A é uma matriz tal que \vec{v}_{1}=(1,2) é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda_{1}=4 e \vec{v}_{2}=(1,6) é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda_{2}=1 / 5. Se \vec{v}=(7, c) é tal que \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|A^{n} \vec{v}\right\|=0, então quanto vale c ?
(A) 42
(B) 43
(C) 44
(D) 45
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que A é uma matriz com autovetores \vec v_{1}=(1,2) e \vec v_{2}=(1,6), correspondendo aos autovalores \lambda_{1}=4 e \lambda_{2}=\tfrac15. Queremos c de modo que, para \vec v=(7,c), valha
\lim_{n\to\infty}\|A^n\vec v\|=0.
O conteúdo aqui é decompor \vec v na base de autovetores e analisar o comportamento de cada componente sob potências de A.
Passo 2
Escrevemos
\vec v = \alpha\,(1,2) + \beta\,(1,6),
isto é,
\alpha + \beta = 7,\quad 2\alpha + 6\beta = c.
Da primeira equação \alpha=7-\beta. Substituindo na segunda:
2(7-\beta)+6\beta=c \quad\Longrightarrow\quad 14 -2\beta +6\beta = c \quad\Longrightarrow\quad c = 14 + 4\beta.
Passo 3
Aplicando A^n a \vec v, usando a propriedade de autovetores, obtemos
A^n\vec v = \alpha\,4^n\,(1,2) \;+\;\beta\,(1/5)^n\,(1,6).
Para n\to\infty, o termo \alpha\,4^n\,(1,2) explode a menos que \alpha=0, enquanto o termo com (1/5)^n tende a zero.
Passo 4
Para garantir \lim_{n\to\infty}\|A^n\vec v\|=0, exige-se \alpha=0. Daí \alpha=7-\beta=0 implica \beta=7. Então