Q11: A é uma matriz tal que \vec{v}_{1}=(1,2) é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda_{1}=1 / 4 e \vec{v}_{2}=(1,7) é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda_{2}=3. Se \vec{v}=(6, \mathrm{c}) é tal que \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|A^{n} \vec{v}\right\|=0, então quanto vale c ?
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz A com autovetores \vec v_{1}=(1,2) associado a \lambda_{1}=\tfrac14 e \vec v_{2}=(1,7) associado a \lambda_{2}=3, e um vetor \vec v=(6,c). Pede-se c tal que
\lim_{n\to\infty}\big\|A^n\vec v\big\|=0.
Vamos usar o fato de que, como \lambda_{1}\neq\lambda_{2}, \{\vec v_{1},\vec v_{2}\} é base de \mathbb R^2, permitindo expandir \vec v nessa base e estudar o comportamento de A^n.