Q11: A é uma matriz tal que \vec{v}_{1}=(1,2) é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda_{1}=1 / 4 e \vec{v}_{2}=(1,7) é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda_{2}=3. Se \vec{v}=(6, \mathrm{c}) é tal que \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|A^{n} \vec{v}\right\|=0, então quanto vale c ?
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A com autovetores \vec v_{1}=(1,2) associado a \lambda_{1}=\tfrac14 e \vec v_{2}=(1,7) associado a \lambda_{2}=3, e um vetor \vec v=(6,c). Pede-se c tal que
\lim_{n\to\infty}\big\|A^n\vec v\big\|=0.
Vamos usar o fato de que, como \lambda_{1}\neq\lambda_{2}, \{\vec v_{1},\vec v_{2}\} é base de \mathbb R^2, permitindo expandir \vec v nessa base e estudar o comportamento de A^n.

Passo 2

Escrevemos
\vec v=\alpha\,\vec v_{1}+\beta\,\vec v_{2},
ou seja,
(6,c)=\alpha\,(1,2)+\beta\,(1,7)=(\alpha+\beta,\,2\alpha+7\beta).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=6,\\\\ 2\alpha+7\beta=c. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação \alpha=6-\beta. Substituindo na segunda,
2(6-\beta)+7\beta=c \quad\Longrightarrow\quad 12+5\beta=c \quad\Longrightarrow\quad \beta=\frac{c-12}{5}.
E então \alpha=6-\frac{c-12}{5}=\frac{42-c}{5}.

Passo 4

Como A^n\vec v=\alpha\,\lambda_{1}^{n}\vec v_{1}+\beta\,\lambda_{2}^{n}\vec v_{2}, ou seja,
A^n\vec v =\alpha\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{n}\vec v_{1} +\beta\,(3)^{n}\vec v_{2},
para que \|A^n\vec v\|\to0 é necessário que o termo com 3^n não cresça, isto é, deve valer \beta=0.

Passo 5

Impondo \beta=0 em \beta=(c-12)/5 c-12=0 e, portanto,
c=12.

Resposta

12

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