Calcule a matriz B=A^{6}. Sua entrada b_{1,1} é:
(A) -24
(B) -20
(C) -16
(D) -12
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2} diagonalizável, com autovalores \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=\sqrt{2} e respectivos autovetores \mathbf v_{1}=(1,-3)^{T}, \mathbf v_{2}=(1,-4)^{T}. Queremos \displaystyle B=A^{6} e, em particular, a entrada b_{1,1}. O conteúdo usado será diagonalização de matrizes e potência de matrizes através de autovalores.
Passo 2
Formamos a matriz de passagem S cujas colunas são os autovetores, e a matriz diagonal D dos autovalores:
S = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -3 & -4\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & \sqrt{2}\end{pmatrix}.