Q10: Seja A uma matriz 2 \times 2 \mathrm{com}
  • autovetor (1,-3) associado ao autovalor 1 e
  • autovetor (1,-4) associado ao autovalor \sqrt{2}.
Calcule a matriz B=A^{6}. Sua entrada b_{1,1} é:
(A) -24
(B) -20
(C) -16
(D) -12
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2} diagonalizável, com autovalores \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=\sqrt{2} e respectivos autovetores \mathbf v_{1}=(1,-3)^{T}, \mathbf v_{2}=(1,-4)^{T}. Queremos \displaystyle B=A^{6} e, em particular, a entrada b_{1,1}. O conteúdo usado será diagonalização de matrizes e potência de matrizes através de autovalores.

Passo 2

Formamos a matriz de passagem S cujas colunas são os autovetores, e a matriz diagonal D dos autovalores:
S = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -3 & -4\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & \sqrt{2}\end{pmatrix}.
Assim A = S\,D\,S^{-1} e
A^{6} = S\,D^{6}\,S^{-1}.

Passo 3

Calculamos S^{-1}. Primeiro o determinante:
\det(S) = 1\cdot(-4) - 1\cdot(-3) = -4 + 3 = -1.
Logo
S^{-1} = \frac{1}{\det(S)} \begin{pmatrix}-4 & -1\\\\ 3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1\\\\ -3 & -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Elevamos D à sexta potência; como \lambda_{1}^{6}=1^{6}=1 e \lambda_{2}^{6}=(\sqrt{2})^{6}=2^{3}=8,
D^{6} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 8\end{pmatrix}.
Então
S\,D^{6} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -3 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 8\\\\ -3 & -32\end{pmatrix}.
Multiplicando por S^{-1}, a entrada (1,1) de B=S\,D^{6}\,S^{-1} é
b_{1,1} = (1)\cdot4 + (8)\cdot(-3) = 4 - 24 = -20.

Resposta

(B) -20

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