Q5: Calcule o determinante da matriz
\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 7 & 7 & 7 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 6 & 8 & 4 \\\\ 1 & -6 & -6 & -8 \end{array}\right]
A) 28
(B) 29
(C) 27
(D) 30
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4:
M = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 7 & 7 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 6 & 8 & 4 \\\\ 1 & -6 & -6 & -8 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de determinante usando operações elementares (troca de linha, soma de múltiplos de linhas) para reduzir a matriz e extrair um subdeterminante menor.

Passo 2

Para ter um pivô fácil, trocamos a linha 1 com a linha 2. Isso inverte o sinal do determinante:
\det(M) = - \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 7 & 7 & 7 \\\\ -1 & 6 & 8 & 4 \\\\ 1 & -6 & -6 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos a nova linha 1 para zerar a coluna 1 das linhas 3 e 4, somando a ela e subtraindo dela:
  • Nova linha 3 = linha 3+ linha 1
  • Nova linha 4 = linha 4 – linha 1
    Isso não altera o valor do determinante. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 7 & 7 & 7 \\\\ 0 & 7 & 9 & 5 \\\\ 0 & -7 & -7 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como agora a primeira coluna está em forma “ \begin{smallmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{smallmatrix}”, o determinante dessa matriz é
1 \times \det\begin{pmatrix} 7 & 7 & 7\\\\ 7 & 9 & 5\\\\ -7 & -7 & -9 \end{pmatrix}.
Logo
\det(M) = -\,\det\begin{pmatrix} 7 & 7 & 7\\\\ 7 & 9 & 5\\\\ -7 & -7 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calculemos o determinante do 3\times3 por expansão na primeira linha:
\det\!A = 7\det\begin{pmatrix}9&5\\\ -7&-9\end{pmatrix} -7\det\begin{pmatrix}7&5\\\ -7&-9\end{pmatrix} +7\det\begin{pmatrix}7&9\\\ -7&-7\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}9&5\\\ -7&-9\end{pmatrix}=-46,\quad \det\begin{pmatrix}7&5\\\ -7&-9\end{pmatrix}=-28,\quad \det\begin{pmatrix}7&9\\\ -7&-7\end{pmatrix}=14.
Substituindo:
\det\!A = 7\cdot(-46)-7\cdot(-28)+7\cdot14 = -322+196+98 = -28.

Passo 6

Voltando ao determinante original:
\det(M) = -\,\det\!A = -(-28) = 28.

Resposta

28 (alternativa A)

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