Qual dos seguintes operadores lineares T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} abaixo é diagonalizável?
A)
[T]=\left[\begin{array}{ll} 4 & 1 \\\\ 0 & 4 \end{array}\right]
B)
T(x, y)=(x+y, y)
C)
[T]=\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]
D)
T(x, y)=(3 x, 3 y)
(a) A)
(b) B)
(c) C)
(d) D)

Passo 1

O enunciado dá quatro operadores em \mathbb{R}^2 e pede qual deles é diagonalizável, ou seja, para qual existe uma base de \mathbb{R}^2 formada só por autovetores. Em \mathbb{R}^2 isso acontece exatamente quando o espaço total dos autovetores tem dimensão 2 (sejam dois autovalores reais distintos ou um único autovalor com multiplicidade geométrica 2).

Passo 2

Opção A:
A matriz associada é
[T]=\begin{pmatrix}4 & 1\\\ 0 & 4\end{pmatrix}.
O polinômio característica é
\chi(\lambda)=(4-\lambda)^2,
então o único autovalor é \lambda=4 com multiplicidade algébrica 2. Para achar os autovetores resolvemos
(T-4I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}y\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\;y=0,\;x\text{ livre}.
Logo o espaço de autovetores tem dimensão 1, menor que 2, então não é diagonalizável.

Passo 3

Opção B:
Temos
T(x,y)=(x+y,y),
cuja matriz é
[T]=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Novamente \chi(\lambda)=(1-\lambda)^2. Fazendo T-I obtemos a mesma forma de Jordan, e o sistema
(T-I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}y\\\ 0\end{pmatrix}=0
y=0, espaço de autovetores de dimensão 1. Logo não é diagonalizável.

Passo 4

Opção C:
[T]=\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
O polinômio característica é
\chi(\lambda)=\lambda^2+1
que não tem raízes reais ( \lambda=\pm i). Portanto não há autovetores reais suficientes, logo não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Passo 5

Opção D:
T(x,y)=(3x,3y),
ou seja
[T]=3\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}=3I.
O polinômio característica é (3-\lambda)^2, mas
(T-3I)=0,
logo todo vetor é autovetor de valor próprio 3. O espaço de autovetores tem dimensão 2, ou seja, há base de autovetores e o operador é diagonalizável.

Resposta

(d)

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