Q4: Seja f(x, y)=-3 x^{2}+2 x y-3 y^{2}.
(A) f(x, y)>0 para todo (x, y) \neq(0,0).
(B) f(x, y)<0 para todo (x, y) \neq(0,0).
(C) f(x, y) assume valores positivos, negativos e iguais a zero, dependendo de (x, y).
(D) nenhuma das demais alternativas é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
f(x,y) = -3x^{2} + 2xy - 3y^{2}
e pergunta qual das alternativas melhor descreve seu sinal para (x,y)\neq(0,0). Vamos usar o conteúdo de formas quadráticas e o critério de Sylvester para determinarmos se ela é definida positiva, definida negativa ou indefinida.

Passo 2

Escrevemos f na forma matricial \displaystyle f(\mathbf{v})=\mathbf{v}^{T}Q\,\mathbf{v}, com \mathbf{v}=(x,y) e
Q = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\[6pt] 1 & -3 \end{pmatrix},
pois o termo 2xy corresponde a 2\,Q_{12}\,x\,y, logo Q_{12}=Q_{21}=1.]

Passo 3

Pelo critério de Sylvester, para uma matriz 2\times2 ser negativa definida precisamos que:
(i) o menor principal de ordem 1 seja negativo, isto é
Q_{11} = -3 < 0,
e
(ii) o determinante da matriz completa seja positivo, isto é
\det(Q) = (-3)(-3) - (1)(1) = 9 - 1 = 8 > 0.
Como as duas condições se cumprem, Q é negativa definida.

Passo 4

Se Q é negativa definida, então
f(x,y) = \mathbf{v}^{T}Q\,\mathbf{v} < 0
para todo \mathbf{v}=(x,y)\neq(0,0). Isso significa que f nunca é positiva nem zero (exceto na origem) e é sempre negativa fora dela.

Resposta

(B) f(x,y)<0 para todo (x,y)\neq(0,0).

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