Q4: Seja
.
(A)
para todo
.
(B)
para todo
.
(C)
assume valores positivos, negativos e iguais a zero, dependendo de
.
(D) nenhuma das demais alternativas é verdadeira.
(E) Não sei
(A)
(B)
(C)
(D) nenhuma das demais alternativas é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
e pergunta qual das alternativas melhor descreve seu sinal para
. Vamos usar o conteúdo de formas quadráticas e o critério de Sylvester para determinarmos se ela é definida positiva, definida negativa ou indefinida.
Passo 2
Escrevemos
na forma matricial
, com
e
pois o termo
corresponde a
, logo
.]
Passo 3
Pelo critério de Sylvester, para uma matriz
ser negativa definida precisamos que:
(i) o menor principal de ordem seja negativo, isto é
(i) o menor principal de ordem
e
(ii) o determinante da matriz completa seja positivo, isto é
(ii) o determinante da matriz completa seja positivo, isto é
Como as duas condições se cumprem,
é negativa definida.
Passo 4
Se
é negativa definida, então
para todo
. Isso significa que
nunca é positiva nem zero (exceto na origem) e é sempre negativa fora dela.
Resposta
(B)
para todo
.