Q6:
Qual o maior autovalor da matriz A abaixo?
A=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 0 \\\\ 1 & -5 & -8 \\\\ 1 & 4 & 7 \end{array}\right]
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) Năo sei

Passo 1

O enunciado pede o maior autovalor da matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ 1 & -5 & -8\\\\ 1 & 4 & 7 \end{pmatrix}
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico \det(A - \lambda I)=0.

Passo 2

Escrevemos A - \lambda I e montamos o determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} -2-\lambda & 0 & 0\\\\ 1 & -5-\lambda & -8\\\\ 1 & 4 & 7-\lambda \end{pmatrix}
Como na primeira linha só há um termo não-zero,
\det(A-\lambda I) = (-2-\lambda)\, \det\!\begin{pmatrix} -5-\lambda & -8\\\\ 4 & 7-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o menor 2\times 2:
\det\begin{pmatrix} -5-\lambda & -8\\\\ 4 & 7-\lambda \end{pmatrix} =(-5-\lambda)(7-\lambda)-(-8)\cdot4 =\bigl(\lambda^2-2\lambda-35\bigr)+32 =\lambda^2-2\lambda-3.
Logo o polinômio característico é
(-2-\lambda)\,(\lambda^2-2\lambda-3)=0.

Passo 4

As raízes são -2-\lambda=0 dando \lambda=-2, e
\lambda^2-2\lambda-3=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}2 =\frac{2\pm4}2 \;\Rightarrow\; \lambda=3\text{ ou }\lambda=-1.
Portanto os autovalores são \{-2,-1,3\}.

Passo 5

Desses, o maior autovalor é \boxed{3}.

Resposta

3 (alternativa D)

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