Calcule o determinante da matriz \mathbf{C} e interprete o resultado no contexto de um sistema de equações lineares:
\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 6 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 6 & 2\end{pmatrix}
e em seguida quer a interpretação desse valor no contexto de um sistema linear. O conteúdo é teoria de determinantes e invertibilidade de matrizes 2\times 2.

Passo 2

Para uma matriz 2\times 2 genérica
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é dado pela fórmula
\det(A) = a\,d - b\,c.

Passo 3

Aplicando em \mathbf{C}, temos a=3, b=1, c=6 e d=2. Logo,
\det(\mathbf{C}) = 3\cdot 2 \;-\; 1\cdot 6 = 6 - 6 = 0.

Passo 4

Um determinante zero significa que as linhas (ou colunas) de \mathbf{C} são linearmente dependentes. De fato, a segunda linha (6,2) é o dobro da primeira (3,1).

Passo 5

No contexto de um sistema linear \mathbf{C}x = b, isso indica que \mathbf{C} não é invertível. Consequentemente, ou não existe solução (se b não estiver no mesmo subespaço gerado pelas linhas) ou há infinitas soluções (se b estiver naquele subespaço).

Resposta

\det(\mathbf{C}) = 0. Isso significa que \mathbf{C} é singular: suas linhas (ou colunas) são linearmente dependentes, e o sistema linear associado não tem solução única—ou não tem solução ou tem infinitas soluções, dependendo de b.

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