Calcule o determinante da matriz A=[rrrr1 & 0 & 0 & -1 3 & 1 & 2 & 2 1 & 0 & -2 & 1 2 & 0 & 0 & 1].Obs: Use expansão em cofatores e, em seguida, a regra prática para calcular det de matrizes 3 times 3.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A) para
A = 1 & 0 & 0 & -1 3 & 1 & 2 & 2 1 & 0 & -2 & 1 2 & 0 & 0 & 1
O conteúdo é expansão por cofatores numa linha (ou coluna) e, para cada menor 3times3, usar a regra prática de Sarrus. Vamos expandir pela primeira linha, que tem dois zeros, e depois aplicar Sarrus nos dois menores não nulos.

Passo 2

Pela regra de expansão em cofatores na primeira linha, temos
det(A) =sumj=1^4a1j(-1)^1+jdetl(M1jr)
Como a12=a13=0, restam apenas os termos j=1 e j=4. Assim
det(A) = a11,(-1)^2det(M11) + a14,(-1)^5det(M14) = 1cdotdet(M11) + (-1)cdot(-1),det(M14) = det(M11) + det(M14)

Passo 3

O menor M11 é obtido eliminando linha 1 e coluna 1, ficando
M11 = 1 & 2 & 2 0 & -2 & 1 0 & 0 & 1
Como essa matriz é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(M11) = 1 times (-2) times 1 = -2

Passo 4

O menor M14 vem de eliminar linha 1 e coluna 4, resultando em
M14 = 3 & 1 & 2 1 & 0 & -2 2 & 0 & 0
Aplicando a regra de Sarrus:
det(M14) =3cdot0cdot0 ;+;1cdot(-2)cdot2 ;+;2cdot1cdot0 ;-;l(2cdot0cdot2 + 3cdot(-2)cdot0 + 1cdot1cdot0r) =-4

Passo 5

Somando as contribuições dos cofatores:
det(A) = det(M11) + det(M14) = (-2) + (-4) = -6

Resposta

det(A) = -6

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