Calcule o determinante da matriz A=[rrrr4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4].
(a) Teorema de Laplace (usando cofatores de uma linha ou de uma coluna de A ).
(b) Usando operações elementares sobre as linhas de A.

Passo 1

Este exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 4×4 por dois métodos: (a) Teorema de Laplace (expansão por cofatores) e (b) operações elementares sobre as linhas.

Passo 2

Para (a), escolhemos expandir pela segunda linha, que tem dois zeros, o que simplifica. Aplicamos a fórmula dos cofatores na linha 2:
det(A)=(-1)^2+1a21det(M21)+(-1)^2+3a23det(M23),
onde a21=-1, a23=3, e M21,M23 são os menores correspondentes.

Passo 3

O menor M21 (removendo linha 2 e coluna 1) é
M21=-5 & 3 & 22 & -1 & 31 & 0 & 4,
o seu determinante é
det(M21)=-5l((-1)cdot4-3cdot0r)-3l(2cdot4-3cdot1r)+2l(2cdot0-(-1)cdot1r)=7

Passo 4

O menor M23 (removendo linha 2 e coluna 3) é
M23=4 & -5 & 21 & 2 & 32 & 1 & 4,
o seu determinante é
det(M23)=4(2cdot4-3cdot1)-(-5)(1cdot4-3cdot2)+2(1cdot1-2cdot2)=4
Logo
det(A)=(-1)cdot7+(-1)cdot3cdot4=7-12=-5

Passo 5

Para (b), fazemos operações sobre as linhas. Primeiro trocamos R1 e R2 (isso inverte o sinal do determinante). Depois somamos múltiplos de R1 às outras linhas para zerar abaixo do pivô, obtendo
-1 & 0 & 3 & 00 & -5 & 15 & 20 & 2 & 2 & 30 & 1 & 6 & 4
Isso implica
det(A)=-1cdotdet!-5 & 15 & 22 & 2 & 31 & 6 & 4

Passo 6

Calculamos o determinante deste bloco 3×3:
det-5 & 15 & 22 & 2 & 31 & 6 & 4=-5(2cdot4-3cdot6)-15(2cdot4-3cdot1)+2(2cdot6-2cdot1)=-5
Portanto, levando em conta o sinal da troca, obtemos novamente det(A)=-5.

Resposta

-5

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