Determine, se possivel, o valor " a^", para que o comprimento da curva C : lx(t)=a cos ^3(t) y(t)=a sen^3(t) com t in[0, pi2], seja igual a pi2 unidades de comprimento.

Passo 1

O enunciado apresenta a curva paramétrica
Queremos achar o valor de para que o comprimento de arco seja . O conteúdo usado aqui é comprimento de curva paramétrica, e vamos precisar da fórmula

Passo 2

Calculamos as derivadas:
dxdt=-3acos^2tsin t, dydt=3asin^2tcos t
Logo o integrando é
raiz(x')^2+(y')^2=raiz9a^2cos^4tsin^2t+9a^2sin^4tcos^2t =3asin tcos t

Passo 3

Agora integramos para obter o comprimento:
L=integral0^pi23asin tcos t,dt =3aintegral0^pi2sin tcos t,dt =3a2integral0^pi2sin2t,dt
E como
integral0^pi2sin2t,dt=1,
segue
L=3a2

Passo 4

Igualamos o comprimento L ao valor dado tfracpi2 e resolvemos para a:
3a2=pi2 Longrightarrow a=pi3

Resposta

a=tfracpi3

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