Use o método das cascas cilíndricas, encontre o volume do solido descrito.
Um tronco de cone circular reto de altura
, raio da base inferior
e raio da base superior
Um tronco de cone circular reto de altura
Passo 1
Primeiro passo: resumindo o problema e o que vamos usar
Estamos querendo o volume de um tronco de cone reto de altura , raio da base maior
e raio da base menor
, usando o método das cascas cilíndricas (que é uma técnica de Cálculo Integral para sólidos de revolução).
Estamos querendo o volume de um tronco de cone reto de altura
Passo 2
Definindo a região e a função geradora
Imagine o plano e a reta que liga
a
. A equação dessa reta é
Imagine o plano
O sólido é obtido ao girar a região abaixo de
, para
e
, em torno do eixo
.
Passo 3
Aplicando o método das cascas cilíndricas
Cada casca cilíndrica, de espessura , fica a uma altura
do eixo
, tem raio
e comprimento
em
. O volume é dado por
Cada casca cilíndrica, de espessura
Passo 4
Determinando o comprimento
em duas faixas
Para , a reta
está sempre acima de
, então
.
Para , resolvemos
para achar onde a região começa em
:
Para
Para
Assim
Passo 5
Montando e calculando as integrais
O volume separa-se em duas partes:
O volume separa-se em duas partes:
A primeira integral dá
. A segunda, depois de fatorar
e integrar
, resulta em
. Somando e simplificando tudo, obtemos
Passo 6
Verificação em caso limite
Se , a fórmula vira
, que é exatamente o volume de um cone de base
e altura
. Isso confirma que a nossa expressão está coerente.
Se