Use o método das cascas cilíndricas, encontre o volume do solido descrito.
Um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio da base superior r

Passo 1

Primeiro passo: resumindo o problema e o que vamos usar
Estamos querendo o volume de um tronco de cone reto de altura h, raio da base maior R e raio da base menor r, usando o método das cascas cilíndricas (que é uma técnica de Cálculo Integral para sólidos de revolução).

Passo 2

Definindo a região e a função geradora
Imagine o plano (x,y) e a reta que liga (0,R) a (h,r). A equação dessa reta é
f(x)=R+r-Rh,x
O sólido é obtido ao girar a região abaixo de y=f(x), para 0<= x<= h e 0<= y<= f(x), em torno do eixo x.

Passo 3

Aplicando o método das cascas cilíndricas
Cada casca cilíndrica, de espessura dy, fica a uma altura y do eixo x, tem raio y e comprimento L(y) em x. O volume é dado por
V=2piintegral y,L(y),dy

Passo 4

Determinando o comprimento L(y) em duas faixas
Para 0<= y<= R, a reta f(x) está sempre acima de y, então L(y)=h.
Para R<= y<= r, resolvemos y=f(x) para achar onde a região começa em x:
y=R+r-RhxLongrightarrow x=hr-R(y-R)
Assim
L(y)=h-x=h-hr-R(y-R)=h(r-y)r-R

Passo 5

Montando e calculando as integrais
O volume separa-se em duas partes:
V=2pil(integral0^Ry,h,dy+integralR^ryh(r-y)r-R,dyr)
A primeira integral dá 2pi hcdottfracR^22=pi hR^2. A segunda, depois de fatorar 2pi h/(r-R) e integrar y(r-y), resulta em pi h(r-R)(r+2R)3. Somando e simplificando tudo, obtemos
V=pi h3(R^2+Rr+r^2)

Passo 6

Verificação em caso limite
Se r=0, a fórmula vira V=pi hR^2/3, que é exatamente o volume de um cone de base R e altura h. Isso confirma que a nossa expressão está coerente.

Resposta

V=pi h3l(R^2+Rr+r^2r)

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