Exercício 4. Seja o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem , munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real (V,+, cdot) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta. W=A in V; A é matriz invertível }).
Passo 1
O enunciado diz que V é o espaço vetorial de todas as matrizes reais ntimes n com as operações usuais, e define
W = Ain V mid A é invertível éí
Para decidir se W é subespaço de V, precisamos checar três propriedades:
Se o vetor zero de V está em W.
Se W é fechado em adição: de A,Bin W segue A+Bin W.
Se W é fechado em multiplicação escalar: de Ain W e lambdainR segue lambda Ain W.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero. O vetor zero em V é a matriz zero 0, mas det(0)=0 logo a matriz zero não é invertível. Portanto
0notin W
e já falha o requisito de conter o zero do espaço, condição essencial para qualquer subespaço.
Passo 3
Podemos também notar que W não é fechado em adição. Por exemplo, a identidade I e -I são ambas invertíveis, mas
I + (-I) = 0
já não é invertível, mostrando falha na clausura sob soma.