Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformá-la em matrizes triangulares superiores.
[cccc2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de determinante de uma matriz 4x4. A gente vai usar operações elementares para transformar a matriz em uma matriz triangular superior, onde os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Isso facilita muito o cálculo do determinante. Para isso, vamos precisar entender como usar operações como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e adicionar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente vai trabalhar:
2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3
O objetivo é zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Começamos pela primeira coluna.

Passo 3

Vamos usar a primeira linha para zerar o elemento abaixo dela na segunda linha. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 12 e subtrair da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 12 * Linha 1
Fazendo isso:
2 & 1 & 3 & 1 0 & -12 & -12 & 12 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3

Passo 4

Agora, pela primeira coluna, já temos zeros abaixo do primeiro elemento. Vamos para a segunda coluna e usar a segunda linha para zerar os elementos abaixo dela.
Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por -2 para facilitar os cálculos:
Linha 2 = -2 * Linha 2
2 & 1 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3

Passo 5

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na segunda coluna:
  • Para a terceira linha: Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 2
  • Para a quarta linha: Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
Fazendo essas operações:
2 & 1 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 4

Passo 6

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos zerar o elemento abaixo do -1 na terceira linha. Para isso, podemos somar a terceira linha à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + Linha 3
2 & 1 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 6

Passo 7

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Determinante = 2 times 1 times (-1) times 6 = -12

Resposta

O determinante da matriz é -12.

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