Considere a curva theta: R R^2 dada por
theta(t)=(t^3-3 t, t^3-5 t-1)
Determine uma parametrização diferenciável alpha:[0,2 pi] R^2 de uma curva cujo traço seja a circunferência de raio 2 , centrada na origem, tal que alpha(t) percorra em sentido horario ao redor da circunferencia e com alpha(0)=(-2,0).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização diferenciável alphacolon[0,2pi]toR^2 cujo traço seja a circunferência de raio 2 centrada na origem, percorrida no sentido horário e tal que alpha(0)=(-2,0).

Passo 2

A circunferência de raio 2 em torno da origem é dada por
x^2+y^2=4,
e sua parametrização usual no sentido anti-horário é
beta(t)=(2cos t,;2sin t), tin[0,2pi],
com beta(0)=(2,0).

Passo 3

Para inverter o sentido de percurso, trocamos t por -t em beta, obtendo
beta(-t)=(2cos(-t),;2sin(-t))=(2cos t,;-2sin t),
que percorre no sentido horário, mas começa em (2,0).

Passo 4

Para fazer a curva começar em (-2,0), adicionamos um deslocamento de ângulo pi. Assim definimos
alpha(t)=l(2cos(-t+pi),;2sin(-t+pi)r) =(-2cos t,;-2sin t)
Verificamos que alpha(0)=(-2cdot1,;-2cdot0)=(-2,0), que alpha é diferenciável em [0,2pi] e que percorre a circunferência de raio 2 em sentido horário.

Resposta

alpha(t)=(-2cos t,;-2sin t), tin[0,2pi]

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