1. Encontre o determinante da matriz A pelo desenvolvimento em cofatores.
    A=[ccc1 & 0 & 3 1 & 3 & 1 0 & 0 & -3]
    Resposta: det(A)=-9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o determinante da matriz A usando o método de desenvolvimento em cofatores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde aprendemos sobre determinantes e como calculá-los. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de expansão por cofatores, que é uma maneira sistemática de calcular determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes, como se a matriz é invertível. Para matrizes 3x3, como a nossa, uma forma de calcular o determinante é usando a expansão por cofatores.

Passo 3

A matriz A que temos é:
A = 1 & 0 & 3 1 & 3 & 1 0 & 0 & -3
Vamos escolher uma linha ou coluna para expandir. Geralmente, escolhemos a linha ou coluna que tem mais zeros para facilitar os cálculos. Nesse caso, a terceira linha tem dois zeros, então é uma boa escolha para a expansão.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da expansão por cofatores na terceira linha. A fórmula geral para o determinante usando a linha i é:
det(A) = sumj=1^n aij cdot Cij
Onde Cij é o cofator de aij .

Passo 5

Aplicando isso à terceira linha de A :
det(A) = a31 cdot C31 + a32 cdot C32 + a33 cdot C33
Substituindo os valores da matriz:
det(A) = 0 cdot C31 + 0 cdot C32 + (-3) cdot C33
Perceba que os dois primeiros termos serão zero porque os elementos a31 e a32 são zero.

Passo 6

Então, só precisamos calcular o cofator C33 . O cofator é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor complementar, ou seja, a determinante da matriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j .

Passo 7

Para C33 :
C33 = (-1)^3+3 cdot M33 = (-1)^6 cdot M33 = 1 cdot M33
A matriz complementar M33 é obtida removendo a terceira linha e a terceira coluna de A :
M33 = 1 & 0 1 & 3

Passo 8

Agora, calculamos M33 :
M33 = (1)(3) - (0)(1) = 3 - 0 = 3
Então,
C33 = 1 cdot 3 = 3

Passo 9

Voltando ao determinante:
det(A) = 0 + 0 + (-3) cdot 3 = -9

Resposta

det(A) = -9

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