Calcule o determinante da matriz 3 \times 3 :
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 4 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 3\times3. O conteúdo aqui é determinante de matrizes, e vamos usar a Regra de Sarrus para matrizes 3\times3.

Passo 2

A Regra de Sarrus diz que, para
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
temos
\det(A)= (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}).

Passo 3

Identificando os a_{ij} na matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix},
o somatório das diagonais principais é
1\cdot3\cdot0 \;+\; 0\cdot1\cdot2 \;+\; 2\cdot(-1)\cdot4 = 0 + 0 - 8 = -8.

Passo 4

O somatório das diagonais secundárias é
2\cdot3\cdot2 \;+\; 1\cdot4\cdot1 \;+\; 0\cdot(-1)\cdot0 = 12 + 4 + 0 = 16.

Passo 5

Então
\det(A)= (\text{principais}) - (\text{secundárias}) = (-8) - (16) = -24.á

Resposta

\displaystyle -24

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