Para que valor de k a matriz abaixo não é invertível?
\left[\begin{array}{ll} 1 & k \\\\ 3 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 2\times2 e pede para achar o valor de k que a torna não invertível. O conteúdo aqui é a relação entre determinante e invertibilidade de matrizes: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Para matrizes 2\times2, a fórmula do determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc.
Usaremos essa fórmula na nossa matriz, onde a=1, b=k, c=3 e d=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula, o determinante da matriz é
\det \begin{pmatrix} 1 & k \\\\ 3 & 2 \end{pmatrix} = (1)\cdot(2) - (3)\cdot(k) = 2 - 3k.

Passo 4

A matriz não é invertível exatamente quando seu determinante é zero. Então impomos
2 - 3k = 0
e resolvemos para k:
3k = 2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{2}{3}.

Resposta

O valor de k que faz a matriz não ser invertível é
\frac{2}{3}.

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