Esboce o domínio de integração e calcule a integral.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{2 x} x y^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o domínio de integração e calcular a integral dupla
\int_{x=1}^{2}\int_{y=0}^{2x} x\,y^{3}\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada em várias variáveis e vamos precisar desenhar a região em xy e depois executar as integrais interna e externa.

Passo 2

O domínio D é dado por
1 \le x \le 2,\quad 0 \le y \le 2x.
Isso corresponde à região no plano limitada pelas retas x=1, x=2, pelo eixo y=0 e pela reta y=2x. Em x=1 temos y variando de 0 a 2, e em x=2 de 0 a 4. É um trapézio “em pé” sob a inclinação y=2x.

Passo 3

Calcular primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{2x}x\,y^{3}\,dy = x\int_{0}^{2x}y^{3}\,dy = x\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{2x} = x\cdot\frac{(2x)^{4}}{4} = x\cdot\frac{16\,x^{4}}{4} =4\,x^{5}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{1}^{2}4\,x^{5}\,dx =4\left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{1}^{2} =\frac{4}{6}\bigl(2^{6}-1^{6}\bigr) =\frac{2}{3}(64-1) =42.

Resposta

O valor da integral é 42.

Exercícios relacionados